例谈搭建已知与未知的桥梁——分析综合法——读《怎样解题》有感

例谈搭建已知与未知的桥梁——分析综合法——读《怎样解题》有感

胡婷

上海市位育初级中学

摘 要：解题是数学学习的主要活动，波利亚把题目看成是已知量和未知量之间的一条鸿沟，他认为要跨越它必须建一座桥，我们可以随便从任何一边开始构建桥梁，既可以从未知量开始，也可以从已知量开始，这就是分析综合法，本文以几何证明和几何计算两个案例分别对分析综合法在数学教学实践中是如何实施的进行了阐述。

关键词：数学解题 分析法 综合法 辅助问题

《怎样解题》是由美国著名的数学家和数学教育家波利亚所著，“怎样解题表”是这本书的精华，它将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这四个步骤中，波利亚认为“弄清问题”和“实现计划”是相对容易的，“拟定计划”是解题的关键所在，而对于如何拟定计划，波利亚更多是利用探索法，即努力在已知量和未知量之间找到直接关系，但我们在解题的过程中往往会遇到不能够直接找到已知量和未知量的关系，所以波利亚指出如果找不出直接联系，就不得不对原来的问题做一些变形和转化，或是考虑相应的辅助问题。因此在本书探索法的“词典”里，有很多有关如何建立已知量和未知量关系的经验分享，尽管它的文字非常凝练，但不时还有点微妙，例如 “你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？”“帕普斯” “倒着干” “观察未知量” “辅助题目”“辅助元素”“你以前见过它吗？”等这些词典其实都在强调的是分析法和综合法，这类分析综合探索法对于解几何的证明题是十分有效的，它往往就是搭建已知与未知的桥梁。因此常常能够贯穿于数学教学实践中，以下用两个实例来进行说明。

案例一 ： 比例线段证明的常用方法——找相似三角形法

四

边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=CD, ,求证：AB·BC=BD·BE（普陀区2017年第一学期初三质量调研第23题）

师：已知条件是什么？生：AD=CD,

师：你可以从已知条件得出一些有用的东西吗？学生边回答老师边板书解题思路，如下：

从已知条件出发，根据学生已有的学习经验，通过两个对应角相等可以证得四边形中上下两个三角形相似，从而再利用边角边的方法可以找到四边形中左右两个相似三角形，但是还没有能与未知建立关系，因此，再从未知量出发，看看还需要什么条件？

师：从问题出发，我们看看需要什么条件？

生1：

从

∠ABE=∠DBC

问题出发，生1分析到这里似乎感觉还差一个条件，于是我们又需要回到条件中去看看能不能找到有用的东西。

生1：

∠DCA=∠DBC

板书解题思路

生2：

小结：对于几何证明，我们往往采用分析法和综合法，或是两种方法一起用，看看从已知条件我们可以得到哪些有用的信息，从未知量出发我们又需要什么，从而找到已知和未知的桥梁。

上题是通过分析法和综合法可以直接找到已知和未知之间的关系，但并非所有的几何证明题都会有这么好找的关系，若遇到这种情况，正如波利亚提出的，我们需要将原题变形一下或是引入辅助元素。正如下面这个案例。

案例二： 一道让人深思的初中数学一模题

在梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于O,如果△BOC、△ACD的面积分别时9和4,那么梯形ABCD的面积为 （2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷）

很多学生在考试的过程中对这道题感到束手无策，不知从何开始解，解不出来的同学一部分是没有想起和它有关的类似题目，即不明确这道题就是考查梯形内部三角形面积关系，对于梯形内部三角形面积关系这个数学模型不太清楚；另一部分同学是不能将已知条件和未知量之间的关系建立起来。

对于第一部分学生的问题而言，教师在讲解这题之前可以先增添几道辅助题目，所谓辅助题目是我们希望考虑它可能有助于解决另一道题目，是我们达到目的的手段。

问题1：梯形中连接了两条对角线，则梯形内有几个三角形？它们的面积有什么关系？

梯形内有8个三角形

第 一组：△AOD和△BOC相似，它们的面积比就是它们相似比的平方，即

第二组： 同高三角形,面积之比会等于底边之比

第三组：由第二组公式可以推导出以下两个结论

结论1：

结 论2：

问题2：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O， =1：3，(1) =

师：已知条件是什么？生： =1：3

师：你可以从已知条件得出一些有用的东西吗？ 生： ： 1：2

师：这与问题所求的未知量有什么关系？

生： = = ： 1：4

板书解题思路图式：

=1：3 ： 1：2 ： 1：4= = =1：4

（2） =1，则梯形ABCD的面积为______．

师：已知条件是什么？生： =1：3， =1：4 ， =1

师：你可以从已知条件得出一些有用的东西吗？

生： 、 、 =2

师：这与问题所求的未知量有什么关系？

+ + =3+4+2+2=11

板书解题思路图式：

+ + =11

设计这两个辅助题目主要是帮助学生弄清楚梯形内部三角形的面积关系和它们的应用。在我们面前每个题目都有已知和未知，我们解题所做的就是要找出已知数据和未知量之间的联系，我们可以将要解得题目看成是已知量和未知量之间的一条鸿沟，要跨越它我们必须建一座桥，我们可以随便从哪一边开始构建我们的桥梁，可以从未知量开始，也可以从已知量开始，以上解题的方法主要是从已知量开始，观察已知数据，你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？从而可以得到问题的答案，这是综合法。

而平时我们在解题的过程中，尤其对于不成功的解题者来说，他们往往只会从已知条件出发，沿着这一种解题途径走下去，又不能对自己目前的处境作出清醒的评估，并由此而作出必要的调整，而只是“一股劲的往前走”，直至最终陷入了僵局而一无所措，所以对于这道初中一模题，第二部分学生尽管已知梯形内部三角形面积关系，但是还是没能解出这道题，这就是关键所在。因此这时教师要教授给学生解决问题不仅可以从条件出发，我们还可以从问题出发，观察未知量，尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目，这就是分析法。接下来我们就应用综合分析法来解决这道一模题，即从已知条件和未知量两边出发：

1 6、在梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于O,如果△BOC、△ACD的面积分别时9和4,那么梯形ABCD的面积为

师：已知条件是什么？生： ,

若问学生你可以从已知条件得出一些有用的东西吗？很多同学很难回答，因为他们很难得到和问题相关联的东西，因此此时需要转换思路，由于有前两个辅助问题的铺垫，对于这道题的解题方向有一定的启发。因此可以从问题出发，要求未知量还需要什么条件。

师：未知量是什么？ 生：梯形ABCD的面积

师：要求梯形ABCD的面积，还需要什么条件才能求得？生：△ABO面积

师：△ABO面积和题目所给的已知数据有什么关系？

生：△ABO面积和△DOC的面积相等，△ABO和△BOC是同高的三角形。

师：有未知量的存在，如何建立它们之间的等量关系呢？

听到建立等量关系，班级有一位同学突然回答到：利用方程。

于是设未知量 ，则 ,

由 得到 即x=3 所以梯形的面积为16

板

方程

书解题思路图式：

梯 形ABCD面积 △ABO面积

前面所提及的两个辅助问题对于学生来说并不陌生，但为什么考试的时候只是把题目条件变换了一下，未知量没有变，对学生来说就成为了一道难题呢？本人认为搭建已知和未知的桥梁，即分析综合法的应用非常重要，若学生真正理解了这种方法的应用，当从条件出发不能直接与未知量发生联系时，学生会作出必要的调整，就不会陷入僵局致使一无所措，因此，观察未知量，并尽量想出你所熟悉的具有相同或相似未知数的题目，这也正是波利亚所强调的。

分析综合法是解决数学问题一条有效途径，也是搭建已知和未知的桥梁，这种方法可以让学生根据题目的已知条件或是要求未知量还需要哪些条件，有效找到问题解决的突破口，从而使得自己成为成功的解题者。

参考文献：

[1] 波利亚 怎样解题——数学教学法的新面貌[M] 涂泓 冯承天译 上海：上海科技教育出版社，2002.

[2]郑毓信 肖柏荣 熊萍 数学思维与数学方法论[M] 四川：四川教育出版社，2005.

[3]徐斌艳 斯海霞 中学数学课程研究[M] 上海：华东师范大学，2016.

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