突破乘除障碍，促进知识的有效迁移——“以分数乘除法解决问题”为例

突破乘除障碍，促进知识的有效迁移——“以分数乘除法解决问题”为例

虞秀霞

杭州市滨江实验小学 310000

摘要：在教学分数乘除法的过程中我们会发现，学生在进行单一练习时，准确率往往都较高，但在混合练习时，由于分数乘除法解决问题从结构上看很相似，因此学生就很容易混淆，从而导致错误率大幅上升。本文从三个方面突破乘除法之间的障碍，促进知识的有效迁移。

关键词：分数乘除法 方程 数量关系 数形结合 迁移

分数乘除法解决问题是六年级上册教学的一个重点，也是难点之一。在教学中我们会发现，学生在进行单一练习时，准确率往往都较高，但在混合练习时，由于分数乘除法解决问题从结构上看很相似，因此学生就很容易混淆，从而导致错误率大幅上升。

一直以来，由于受到应试教育的影响，教师在日常教学中有时会采用模仿和灌输的模式，学生很多时候根本没有理解题目，而是采取了死记硬背的方式，未能真正地理解知识点，导致学习不扎实，知识点的掌握流于表面。例如在教学分数乘除法解决问题时，一些教师根据自身长期的教学经验总结出诀窍：第一步，先找出单位“1”；第二步，判断单位“1”是已知的还是未知的；第三步，依据“单位“1”×对应分率 = 对应的量”来告诉学生：单位“1”是已知量，可以直接用乘法计算，单位“1”是未知量，可以用除法计算。这种教学方法在本质上来说并没有什么错误，但是一些学生机械地套用公式进行运算，并没有对问题中的数量关系进行有效的分析。这样“机械、枯燥、死套题型”的方法是建立在单一题型的基础上的，这样的知识是缺乏迁移性的，学生也无法内化成解决问题的能力。一旦改变问题的情境，学生就会束手无策。而且这种刻板的教育方式，学生对于数学的真谛便失去了探索的热情，并不利于学生对数学思维能力的培养。

其实在学习数学的过程中，各章节知识点内容之间并非独立存在，而是有着非常紧密的内在联系。教师在教学过程中可以找出新旧知识点之间的共性，沟通联系，把新知识转化为旧知识去研究。而学生则可以在运用旧知识去探索新知识的过程中不断重组自己的认知结构，完善自身的知识体系，从而实现知识的有效迁移。如何突破分数乘除法解决问题之间的障碍，促进知识的有效迁移，本文将从以下三个方面进行论述。

一、沟通联系促迁移

由于数学的各个知识点之间存在着非常紧密的联系和共通点，所以在日常教学过程中，教师要注重沟通新旧知识间的联系，想方设法创造条件，把新知识转化为旧知识，从而顺利实现迁移。

上图是人教版数学教材六年级上册第三单元分数除法中已知一个数是几分之几，求这

个数的例题。在教学前，教师可以先复习求一个数的几分之几是多少的乘法问题。然后，改变条件与问题的位置，引出例题。使学生看到在这一过程中，“儿童体内的水分约占体重的 ”这一数量关系没变，初步感知乘、除法问题的内在联系。然后引导学生厘清数量与数量之间的关系，写出等量关系式，再把关系式中的数量分别用未知数和已知数替代，列出方程。这样就将旧知与新知进行了联系，让学生清楚地知道不管是分数乘法的解决问题还是分数除法的解决问题，都是根据题目的数量关系式来思考问题的。进而使学生认识到分数除法问题的思路与相应的分数乘法问题完全一致，只是参与列式的是未知数而已，形成知识的顺向迁移。

虽然用方程解决这类问题最大的优势在于思维的顺向性，但在教学中，我们发现学生解决问题时缺乏主动列方程的意识。他们往往嫌书写“解”“设”太麻烦，不明白为什么放着熟悉的算术方法不用，而要舍近求远列方程解答。对于简单地分数除法问题，我们列出方程 后，可以转化为 ，即用除法可以直接求解，列方程解决问题的优越性没有特别突出。但是对于稍复杂的分数除法问题，如人教版数学教材六年级上册第三单元分数除法中的例5：小明的体重是35㎏，他的体重比爸爸的体重轻 ，小明爸爸的体重是多少千克？面对这个例题中所给分数与单位“1”的量非对应时，部分学生就纠结了：到底用乘法还是除法？乘或除以哪个分数？另外，用算术方法解决这样的实际问题，不仅需要逆向思考，还要把“比一个数多（少）几分之几”，转化为“是一个数的几分之几”，比较抽象，思维难度较大。用方程方法解决，可以列出形如 的方程，也可以列出形如 的方程，前者仍然要经历从“多（少）几分之几”到“是几分之几”的转化，后者只要根据一个数加（减）增加部分等于增加（减少）后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易理解。不难看出，在这个例题中选择方程这个符合学生顺向思维的思路，解题难度大大降低，也不会出现混淆的情况。

总而言之，不论学生遇到多么复杂的分数乘除法问题，已知条件有多么隐蔽，只要理清楚它们之间的数量关系就可以列出算式或者方程式，问题就能够得到解决。而在这过程中，解决分数乘法问题和分数除法问题的思路是一致的。而且一旦使用方程的方法，无需“步步为营地逼近未知量”，只要理顺题目中已知条件与所求问题的关系，找到等量关系，用字母代替未知量即可。和用算术的方法相比，思维难度大大降低。

2. 对比分析促迁移

（一）整数比多少与分数比多少的对比

部分学生之所以出现分数乘除法问题混淆的现象，是受到整数比多少知识的负迁移影

响。我们仍然以人教版数学教材六年级上册第三单元分数除法中的例5为例：小明的体重是35㎏，他的体重比爸爸的体重轻 ，小明爸爸的体重是多少千克？部分学生认为小明的体重比爸爸的体重轻 ，也就意味着爸爸的体重比小明的体重重 ，因此他们列式： （㎏）或 （㎏）。在教学中，教师不妨将整数比多少问题与分数比多少问题进行对照教学。可呈现如下信息：爸爸的体重是75㎏，小明的体重是35㎏。（1）爸爸的体重比小明重多少千克？小明的体重比爸爸的轻多少千克？（2）爸爸的体重比小明重几分之几？小明的体重比爸爸轻几分之几？通过两组问题的辨析解答，使学生明确：一个数比另一个数多多少，可以说另一个数比这个数少多少（即多的部分就等于少的部分）。而爸爸的体重比小明重几分之几，表示“爸爸比小明重的体重是小明体重的几分之几”（重的体重÷小明体重）；小明的体重比爸爸轻几分之几，表示“小明比爸爸轻的体重是爸爸体重的几分之几”（轻的体重÷爸爸体重）。尽管重或轻的体重是相同的，但是标准量不同即单位“1”不同，所以除数是不相同的，最后的结果当然也不相同：爸爸的体重比小明重 ，反过来说小明的体重比爸爸轻 。因此，在例5中，“小明的体重比爸爸的体重轻 ”不等于“爸爸的体重比小明的体重重 ”。弄清楚这一点，学生也就不会把分数乘除法问题弄混淆了。

2. 分数乘法问题与分数除法问题的对比

要让学生能够有效地区分分数乘法问题和分数除法问题，有效的途径之一就是及时进

行对比练习。教师通过对比题目的信息和解题方法之间的异同点，引导学生抓住分数乘除法问题之间的联系，深入反思，提高解决这类问题的能力。

人教版数学教材六年级上册第三单元分数除法第40页的第10题就是一组很好的对比材料。题目是这样的：有一组互相咬合的齿轮。

（1）大齿轮有140个齿，小齿轮的齿数是大齿轮的 。小齿轮有多少个齿？

（2）小齿轮有28个齿，是大齿轮的 。大齿轮有多少个齿？

（3）小齿轮每分钟转400周，大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少 。大齿轮每分钟转多少周？

（4）大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少 。小齿轮每分钟转多少周？

这4道小题包含了分数乘除法解决问题最基本，也是最重要的4个题型，它们可以分为两组对比。第（1）（2）小题是较为简单地分数乘除法问题，它们的相同点是所蕴含的数量关系一样。不同点是：第（1）小题是已知大齿轮数求小齿轮数，而第（2）小题是已知小齿轮数求大齿轮数，题目里的条件和问题互换了。我们在解决这组问题时，要牢牢抓住大齿轮的齿数× =小齿轮的齿数这个数量关系，第（1）小题大齿轮的齿数是已知的，只需直接把数据代入，用乘法计算即可。而第（2）小题大齿轮的齿数是未知的，需要设未知数用方程解决。第（3）（4）小题是稍复杂的分数乘除法问题，这两小题的信息和解题方法之间的异同点与第（1）（2）小题一样，这里就不展开赘述了。

我们再把（1）（2）两小题与（3）（4）两小题进行对比。第（1）（2）两小题的数量关系是大齿轮的齿数× =小齿轮的齿数，表示的是一个数是另一个数的几分之几。第（3）（4）两小题的数量关系是小齿轮每分钟转的周数×（1－ ）=大齿轮每分钟转的周数，表示的是一个数比另一个数多（少）几分之几。虽然看起来后者的数量关系比前者要麻烦许多，但它们在本质上其实是一样的，表示的都是一个数是另一个数的几分之几。例如大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少 ，换句话说就是大齿轮每分钟转的周数是小齿轮的 。所以归根结底，这4个不同的题型中蕴含的数量关系都是一个数×分率=另一个数。

三、数形结合促迁移

六年级的学生虽然已经初步建立了简单的数学思维体系，但还不是很完善，对于抽象的数学文字理解难度仍然较大，如果能够借助具体的图形，使图形与数量关系相结合，则非常利于学生了解数学教学的本质含义，系统科学的掌握数量关系和数学各类知识，锻炼学生独立思考问题的能力和解决问题的能力，进而实现知识的正迁移。而数形结合的思想正是小学数学中研究数学不可或缺的一种数学思想，它的本质就是将抽象的数字语言与具体的图形相结合。要将这种思想运用在数学中，必须是不断地启迪学生自己去尝试，去“形”中找“数”，去“数”中思“形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，拓宽他们的解题思路，锻炼他们解决问题的技巧和能力，提高数学的综合素养。

在分数乘除法解决问题的教学中，教师可以借助线段图，为学生直观地呈现题目中的信息，引导学生梳理各个数量之间的关系，从而利用线段图解决问题，完善自身的认知结构。在人教版数学教材六年级上册第三单元分数除法中的例5的教学中，我们就可以通过画线段图来厘清各个量之间的关系。教师在指导学生画线段图时，要引导学生思考以下几个问题：（1）先画哪个数量？为什么？使学生明白要先画表示爸爸体重的线段，因为它是比较的标准。（2）再画表示小明体重的线段时，怎么画？使学生明白要把表示爸爸体重的线段平均分成15段。表示小明体重的线段比表示爸爸体重的线段短，短的部分相当于这样的8段。这样，边思考边把条件和问题简单明了地标注在图上，清晰直观地把数量关系呈现出来。学生根据线段图，就能很快找出数量关系：爸爸的体重－小明比爸爸轻的部分=小明的体重，爸爸的体重×

=小明的体重。另外，教师还可以追问：例5中，以爸爸的体重为标

准量，那么小明的体重比爸爸轻 。如果以小明的体重为标准量，那爸爸比小明重的部分怎么表述？使学生深刻体会到“比较量不同，标准量不同，分率也会不同”。

在小学数学教学中，分数乘除法应用题占据着很重要的地位，因此教师在教学时，一方面要吃透教材，转变观念，要对多种形式的解决问题进行纵横比较，沟通新旧知识点之间的联系，进行对比练习，加深对数量关系的理解，提高解题的熟练程度。另一方面在教学过程中教师要创造各种条件，促进知识的有效迁移，从而让已有的知识和经验迸发出强大的再生活力。

参考文献

1. 李鹏辉.渗透数学思想方法,提高解决问题的灵活性——谈在分数乘除法应用问题教学中数学思想方法的渗透[J]．新课程．2018．13:146-147

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3. 陈百峰.厘清数量关系是“解决问题”的关键——以“分数除法解决问题”为例[J]．教学月刊：小学版（数学）．2011.6：8-10