浙江省舟山市白泉高级中学 浙江省舟山市 316000
摘要:在高中数学教学中,立体几何动态问题是教学的难点、高考的热点,问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为高中生思考和求解问题的思维障碍,导致解题过程不够顺利、试题得分不尽如人意。
关键词:高中;立体几何;动态变化;教学实践
实际上,立体几何动态问题在变化中总会蕴含着某些不变因素,我们唯有认真分析其变化特点,找到其中不变的静态因素,从中发现和寻找解决问题的突破口。在动态问题求解过程中,教师要引导学生进行积极思考,借助动态思维来观察变化规律,或者把动态转变为静态,从而正确求解问题答案。
一、立体几何动态变化问题教学困境
在立体结合动态变化问题教学中,课堂教学往往面临以下困境:(1)教学中采取“满堂灌”方式,不利于学生学会、弄懂,降低了课堂探究质量和效率;(2)无法发挥学习主体作用,课堂讲解得多、讲的速度快,不给思考空间和时间,讲评式教学降低了学生参与课堂积极性,容易失去学习兴趣;(3)课后反思和总结不足,很多学生课堂感觉听懂,但课后练习依然存在问题,缺乏课后反思和总结能力,课后反思和总结不足遇到类似问题依然不会、不懂。
二、立体几何动态变化问题分类解题策略
1.角度问题
角度问题是立体几何动态问题中重点试题之一,注重考察学生对角度求解,锻炼学生数学思维能力。数学教学中,教师要关注学生学习情况,引导他们对问题进行深入讨论,寻找到该类问题的通用解法。在思考过程中,高中生要探讨和寻找最值条件,发现角度变化规律,依据规律来求取问题答案,发展数学思维能力。
如图1所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,所在平面相互垂直,已知动点M在线段PQ上运动,E、F分别为AB、BC的中点,假设异面直线EM与AF所成夹角为θ,则cosθ的最大值为_____。作为立体几何动态问题中一类重要题型,求解空间角度一般有两种方法:(1)寻找到某个点来建立空间直角坐标系,借助于坐标系内点坐标来运用公式进行求解,通过代数法来解答得到问题答案;(2)分析题目中图形,结合图形来求取最大(小)值。借助于该问题,教师引导学生以小组为单位进行思考,寻找求解方法,学生发现:当点M位于P处时,EM和AF所成角为直角,此时余弦值为0(最小)。当M点向左移动时,EM和AF所成角逐渐变小,点M与Q点重合时角最小,余弦值最大,计算后求得答案为2/5。
图1
2.距离问题
与角度问题类似,距离问题也是高中立体几何问题研究的重点,求解方法与角度问题有着相似之处,教师在教学中不妨把两种试题混在一起来考察学生应用知识能力。数学教学中,教师要关注班级实际学情,关心班级每个学生的学习情况,帮助他们树立好学好数学知识信心。
在学习完数学立体几何角度知识后,教师要重视试题讲解过程,引导学生进行试题训练,对知识进行梳理,提取其中的数学知识,注重求解角度思路的迁移与发展,扩大数学知识应用范围到距离方面。实际上,高中生在新知识学习中要构建认知结构,以角度和距离的试题练习来促进对所学知识理解和掌握,扩大知识认知范围,在试题讲解中渗透知识迁移过程,发展数学解题能力。由此可知,高中数学立体几何动态试题讲解中要注重渗透知识迁移过程,发展学生概括总结能力,培养知识迁移能力。
3.面积、体积问题
面积、体积类问题较角度和线段难度变大,求解方法多种多样,要求高中生要具备灵活应用知识能力,破解遇到的难题。在求解面积、体积类问题时,学生要寻找解题规律,从熟悉思路出发来求解,注重思维发散性,遇到困难及时转换思路,提升解答正确率。
如图2所示,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1中点,点P在侧面ABB1A1内,若D1P⊥CM,则△PBC面积最小值为_____。本题是以学生常见的正方体作为载体,已知线线间垂直,再结合立体几何中的动点问题来确定三角形最值。在本题中,命题人注重考察学生的应用知识能力,解法多种多样,有利于区分学生层次。解法主要有以下几种:(1)分析何时PB最短,运用等积法思维来求解线段PB最短距离,进而求出最小面积;(2)利用向量法来确定线段PB最短距离来求解最小面积;(3)建立空间直角坐标系来根据条件求出对于向量积为0时确定三角形面积。结合上述三种求解方式,我们发现最小面积求解思路多,学生要具备灵活运用知识能力,教师课堂多留出时间供他们进行思考,在思考中发展数学思维,形成解答几何动点问题能力。
图2
4.轨迹问题
在很多学生看来,轨迹问题是学习中难度最大的一类问题,高中数学教师要重视轨迹问题的讲解,引导学生由浅入深、步步深入地求解轨迹,形成数学思维。求解轨迹问题时,要能够熟练运用所学知识来进行求解,结合已有解题思路来探索,从中发现轨迹变化,形成正确解题思路。在解答轨迹问题时,教师要引导学生思路回归到几何图形的有关轨迹定义上,探讨运动轨迹是否符合某个已有图形的定义,采取“以静制动”教学策略来求解动点问题。
如图3所示,AB为平面α上的斜线段,其中,A为斜足,若点P在平面内运动来使得△ABP面积为定值,那么动点P的轨迹是_____。认真分析本题,发现本题动点P有两个条件:(1)平面内运动;(2)△ABP面积为定值。根据三角形定义,边AB长度一定,要想确保△ABP面积为定值,那么,点P到线段AB距离必定为定值,因此,点P轨迹为以直线AB为旋转轴的圆柱面(图4所示)。再结合条件(1),根据圆锥曲线中椭圆定义,我们发现点P的轨迹是椭圆。通过上述试题,教师要引导学生对问题进行思考,解题过程中注意轨迹与已知曲线关系,从中找到二者间联系,发展数学核心素养和综合能力。
图3 图4
总之,立体几何动态问题是高中数学教学中的难点,教师在授课时要关注实际学情,从多个角度引导学生对知识进行探究和思考,“以静制动”来探究动与静间关系,有效促进个体数学学习质量和效率,使每个人都能从中发现、找到解题思路,发散数学思维来形成创新意识,发展立体几何解题综合能力。
参考文献:
[1]李健.例析立体几何中的动态问题[J].中学数学,2012(21):26-27.