向量的概念教学过程设计

向量的概念教学过程设计

郑金鑫

沈阳师范大学教育硕士研究生院 辽宁省沈阳市 110034

摘要

向量是沟通几何与代数的桥梁，向量的概念是后续学习相关知识的基础，学习向量的概念能够发展学生的抽象概况能力，体会数形结合的思想。本文以问题为载体，学生活动为主线，让渗透向量的概念的研究过程，培养学生的数学素养。

关键词：向量 概念 教学

一、创设问题情境

在物理学中已经学过位移的有关知识，知道位移是表示物体位置变化的物理量。如图所示，当物体从A运动到B时，不管沿什么轨迹，它的位移都是一样的，即“向北300m”。

问题（1）从B到A的位移是“ ”，它与从A到B 的位移有什么关系？

设计意图：创设问题情境，让学生回顾已学过的知识，感受位移是一个既有大小又有方向的量，自然引出学习内容。

二、新课讲授

（一）引入向量概念

问题（2）你还能举出哪些像位移一样，既有大小又有方向的量？请同学们思考有没有只有大小没有方向的量？

教师根据学生回答进行总结，位移被“方向”和“距离”位移确定，其中“距离”也称为位移的大小。一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也成为矢量），向量的大小也称为向量的模（或长度）。只有大小没有方向的量称为标量。

设计意图：激发学生已有经验，为抽象概括向量概念提供丰富例证。

（二）向量的符号表示

问题（3）向量作为本节课新引入的概念，在数学中在引入概念之后，通常要用符号表示它，那么我们如何用符号表示向量呢？怎样直观地表示上图中的位移？用你的方法表示上图中从A到B，从A到C，从A到D的位移，说明这三个位移之间的关系。

教师总结，部分同学用带箭头的线段（既有向线段）来表示位移，类似地，我们可以用有向线段来直观表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向。通常将有向线段的端点称为向量的始点（或起点），带箭头的端点称为向量的终点。始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为 ，此时向量的模用 表示。还可以用小写字母表示向量如a,b,c，书写时可以用 , , 表示，此时向量的模用 ， 表示。

设计意图：让学生尝试表示位移，在学生使用有向线段后，为教师指导将用有向线段表示位移的方法类比到用有向线段表示向量打下基础。通过探讨三个位移的关系，进一步体会向量既有大小又有方向。

（三）向量的特殊对象

问题（4）向量作为一个既有大小又有方向的量，可以从大小和方向两方面来研究向量，考虑向量的大小关系，类比实数的学习过程，请同学们思考在构成向量的集合中，是否有一些特殊意义的向量呢？你为什么觉得这些向量是特殊的？

在学生答出零向量与单位向量比较特殊时，教师进一步提问引导学生概括出零向量与单位向量的概念。始点和终点相同的向量称为零向量。零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的， 。模等于1的向量称为单位向量， 。并强调类比实数的学习对向量的学习的意义，进而让学生思考学习实数的过程，引入数后，要研究数的运算，引入运算就要研究它的运算律，让学生知道研究向量的运算和运算律等是自然的事情，为后续学习打下基础。

设计意图：通过设问，引导学生思考向量的本质特征既有大小又有方向，试图引导学生注意向量的大小，将向量的集合与实数集合类比，自然生成特殊的向量零向量和单位向量^[1]。

（四）向量的特殊关系

问题（5）同学们分析向量的大小时，类比实数的学习，归纳出向量集合中一些特殊的向量。对于向量的方向的分析，是否可以类比一些已学过的知识进行分析学习？向量之间是否有一些特殊的位置关系值得我们研究？

教师引导学生将线段的学习类比到向量的学习中，引导学生通过判断线段之间的位置关系，自主得出相等向量与平行向量的概念。并应用信息技术工具改变向量的大小和方向，让学生直观感受向量相等与平行。

学生回答出在一个平面内线段之间常见的位置关系包括相交于平行，将平行线段的概念学习类比到向量的学习中，自然得出相等向量与共线向量的概念。同时强调向量既有方向，又有大小，引导学生分情况讨论，自主得出向量大小和方向不同情况时，相等向量与共线向量的情况。

1.当向量的大小和方向相同时，向量相等。

2.当向量的大小相同，方向相反，向量平行。

3.当向量的大小不同，方向相同，向量平行。

4.当向量的大小不同，方向相反，向量平行。

归纳：1.关注方向角度：方向相同或相反，向量平行。

2.关注长度角度：模相等的向量， 。

3.关注长度与方向角度：相等向量 = ，相反向量 =- 。

教师进行补充，零向量与任何向量平行。

设计意图：引导学生根据向量的方向对向量的位置进行分析，类比线段的位置关系，自主探究理解向量相等与平行的概念。

三、课堂练习

O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量 相等的向量。

设计意图：练习巩固相等向量，平行向量的概念。

四、课堂小结

问题（6）向量可以由有线线段来表示，有向线段是具有方向的线段，请同学们思考三者之间的联系与区别。请同学们思考本节课是采用怎样的方法得出各种概念的？请同学们自主画图总结梳理本节课的学习内容。

教师进行总结，本节课的概念学习中，首先我们从现实情境中抽象概括出向量的概念。在数学上引入新的概念后，可以用符号对其进行表示，于是我们通过探究应用有向线段来表示向量。接下来我们探究向量的大小和方向，首先对向量的大小这一特性进行分析，在构成向量的集合中有一些具有特殊意义的向量，我们类比实数的集合，得出零向量与单位向量的概念^[2]。然后对向量的方向进行分析，类比线段的位置关系，分析常见的位置关系平行，进而分析概括归纳得出相等向量与平行向量的概念。当然向量与向量之间存在着不是平行与相等的关系，类似的，类比数的学习，在学习数之后，就要研究数的运算，研究数的运算就要研究运算律，因此在后面的课程中我们会逐步学习这些内容。请同学们课下继续认真体会其中的基本思路：从同类具体事例中抽象出共同本质特征——下定义——符号表示——认识特殊对象——考察某些特殊关系。

设计意图：通过探讨向量与有线线段与线段的区别与联系，进一步深化对向量概念的认识。教师通过提问，引导学生回顾本节课学习向量概念的过程，体会应用类比的方法，抽象概括，得出概念的过程，将知识联系为一个整体。进一步体会研究数学概念的过程。

五、数学文化的渗透

在历史上，向量从物理中被使用到进入数学蓬勃的发展经历了漫长的时间，它的萌芽起源于古希腊著名数学家亚里士多德最早提出，牛顿最早使用有向线段表示力，莱布尼兹利用向量研究几何问题的视角，逐渐形成了现在流行的向量理论体系，而向量进入数学并得到发展的标志出现在1797年丹麦的测量学家韦塞尔将复数表示为向量，并将坐标平面上的点用向量表示出来，至此彻底实现了几何问题的代数化。

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。在某种程度上讲，它的研究对象就是代数和几何，而向量既有几何性质又有代数性质，这就决定了向量将在数形结合的道路上发挥巨大的作用。

设计意图：在课堂中渗透向量的历史研究过程，让学生体会到知识发生发展的过程，体会数学强大的力量，学生能够在一节课内走过数学家几世纪研究问题的过程。体会数学研究问题的过程和方法。强调向量在数学学科中的重要地位，让学生树立起学好向量的态度。对于向量这个全新的研究对象，提出问题让学生主动思考研究新事物的本质，为后续的教学打下基础。

参考文献

1. 李沛,丁益祥.“平面向量的数量积”教学设计、反思与点评[J].中学数学教学参考,2020(07):15-21.

2. 刘娟.“平面向量的实际背景及基本概念”教学设计与实录[J].中国数学教育,2017(Z2):59-64.