基于《海岛算经》测量建筑高度的数学建模论文

基于《海岛算经》测量建筑高度的数学建模论文

王清超

广东省深圳实验学校初中部 广东 深圳 518055

一、摘要：

本论文是基于生活中的实际问题，把“生活化”问题“科学化”。跨学科解决问题，利用物理知识进行测量，以及利用光的反射来解决问题，基于《海岛算经》探究教学楼的高度如何测量。

关键词：创新思维、《海岛算经》、跨学科、测量建筑高度

二、问题背景：

《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。

三、问题设立：

以本校初中部内外建筑为基础，观察学校内外的建筑，完成测量高度

数学：根据测量结果，计算出比例关系以及三角函数的应用，根据题意建立数学模型。

技术：GeoGebra作图工具的使用

物理：测量长度、角度；选择合适的距离和角度，学会用皮尺和大量角器。反射角和入射角的概念以及反光镜的使用。

人文艺术：《海岛算经》

五、模型建立与求解：

第一，对于测量旗杆高度，最容易想到利用三角形知识来解决，学校旗杆的高度，观察者与旗杆的水平距离可以测量，只需要一个仰角，可以利用特殊的直角三角形边角之间的关系来求解，当然存在如何减少误差的问题。也可以利用物理方法，入射角与反射角的相等关系。

第二，学校外的建筑物高度测量与测量学校内的旗杆高度存在差异，观察者与学校外建筑物之间的水平距离不可测(存在不可逾越的障碍物，或者水平距离太远)，这时该如何测量呢？

通 过前面的两点我们能够发现，可以将要测量的对象按照测量环境分为两种模型：

第一类：观察者与测量对象之间的水平距离可测

第二类：观察者与测量对象之间的水平距离不可测或太远

其基本的模型如右图：

测 量物体的高度记为GE,根据三角函数显然有GE=EF·tan∠GFE。

通过以上分析，有几种不同的方案进行展示：

（1）第一类，测量学校内建筑的高度

5.1.1如右图模型所示：

测量工具：皮尺、大量角器、标杆。

测量数据：仰角β，高度DB=h,水平距离AB=l,

数据处理：H=l·tanβ+h

（2）第二类，测量学校建外建筑物的高度。

5.2.1跨学科采用物理学中光学知识，采用镜面反射的原理来测量高度。

测量工具：皮尺、标杆、大镜子

测量数据：人后退至从镜子A中能看到旗杆的顶端，并记录人与镜子A间水平距离为a;

在距离A为b之处放置镜子B,使得能看到旗杆顶处，测量并记录人与镜子B之间的距离为C，

测量并记录眼睛距地面的高度为h;

数据处理：根据物理学中光的反射原理，入射角和反射角相等的物理关系，可以得到相似三角形，构成方程组，可以解得旗杆高度为：H=

如下图所示，用GeoGebra数学软件来处理图形，得到如下的镜面反射模型

5.2.2处理第二种情况，测量学校外建筑物的高度。利用下图测量模型。

测量工具：皮尺、大量角器

测量数据：测量仰角θ、β;测量两个位置之间的距离为a,测量眼睛以下的高度为h

操作过程：用大的量角器，将一边对准被测物体顶端，测量并记录仰角β，后退距离a，计算并记录仰角θ；

数据处理过程：利用解三角形知识，计算被测物体的高为：H= +h

5.2.3测量学校旗杆的高度

探讨用3D立体解析方法来解决问题，利用如下图所示测量模型。

测量工具：皮尺、大量角器

测量数据:需要用到大量角器测仰角；皮尺测量水平距离

操作过程：用大量角器分别测得A和B点的仰角分别为α和β，测量水平∠NAB=θ，以及EF=a;

计算过程：被测物体高度满足方程组：

解方程组就可以得到物体高度。

六、【参考文献】：

[1].刘徽.《海岛算经》魏晋时期

[2]张思明 《中学数学建模与探究》[M] 高等教育出版社，2018.10

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