解决函数零点问题初探

解决函数零点问题初探

丁国文

新疆博乐第七中学，新疆 博乐 833400

_{摘要：复合函数的研究对学生思维能力的培养起着至关重要的作用，如何开拓学生的思维领地，培养学生探究思维能力是复合函数教学过程中十分重要的研究课题，通过一道关于零点问题的复合函数的多种解法旨在拓展思路，渗透数学思想，提高思维能力。}

_{关键字：复合函数、思维、数学思想}

首先给出函数零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。因此，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标。从而有

方 程y＝f(x)=0有实数根

函 数y=f(x)的图像与x轴有交点

函数y=f(x)有零点。

其次给出函数零点判定定理（函数存在性定理）

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c_{（a,b），使得}f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

下面探讨两道高考题目：

例题1：已知函数_.

_{(1)若,证明：当时，；}

_{(2)若在只有一个零点，求a.}

_{经过一番思考和研究后给出该试题的两种解题方法：}

_{法一：（1）当a=1时，f(x)1等价于（x2+1）e-x-10。}

_{设函数g(x)=（x2+1）e-x-1,则(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x。}

_{当x1时，(x)<0,所以g(x)在（0，）单调递减，而g(0)=0,}

_{故当x0时，g(x)0，即f(x)1。}

2. _{设函数h(x)=1-ax2e-x}

_{f(x)在（0，）只有一个零点当且仅当h(x)在（0，）只有一个零点。}

_{当a0时，h(x)>0,h(x)没有零点，}

_{当a>0时，(x)=ax(x-2)e-x，当（0,2）时，(x)<0,}

_{当x(2,)时，(x)>0}

_{所以h(x)在（0,2）单调递减，在(2,)单调递增。}

_{故在(0,)内，h(2)=是最小值。}

_{1）若h(2)>0,即a<，h（x）在(0,)没有零点。}

_{2）若h(2)=0,即a=，h（x）在(0,)只有一个零点。}

_{3）若h(2)<0,即a>，由于h(0)=1,所以h（x）在(0,2)只有一个零点。}

_{由（1）知，当x>0时，ex>x2,所以}

_{故h(x)在（2,4a）有一个零点，因此h(x)在(0,)有两个零点。}

_{综上所述：f(x)在(0,)只有一个零点时，。}

_{点评：（1）根据已知条件对函数不等式进行变换，然后应用函数单调性、导数进行证明不等式。（2）构造新函数后，对函数进行求导数，然后分、分情况进行讨论零点的个数，根据零点个数进而确定值大小。}

_{法二：（1）f(x)=ex-ax2(xR),当a=1时，f(x)=ex-x2(xR)}

_{当时，x=ln2，在x=ln2时去最小值，(ln2)>0,f(x)在[0,)单调递增。}

_{当x=0时，f(0)=1，所以当a0时，f(x)1。}

2. _{f（x）=ex-ax2,=ex-2ax,令g(x)==ex-2ax，=ex-2a=0,x=ln2a，}

_{当a0，f(x)在（0，）无零点。}

_{当时，f(x)在（0，）无零点。}

_{当a>时，g(x)在x=ln2a处取最小值，即g(x)min=2a(1-ln2a).}

_{当，g(x)min>0,f(x)在（0，）无零点。}

_{当a=时，g(x)min=0,f(x)在（0，）无零点。}

_{当a>时，g(x)min<0，若在x=x1处有零点，则f(x1)=ex1-ax12=0,(x1)=ex1-2ax1=0,x1=2,即在x=2时，f(x)取零点，f(2)=e2-4a=0,a=。}

_{点评：应用函数单调性、二阶导数的知识进行证明不等式。（2）对函数进行求二阶导数，然后分、分情况进行讨论零点的个数，根据零点个数进而确定值大小。}

_{例2：已知函数f(x)=ln(x+a)-x(aR),直线l:是曲线y=f(x)的一条切线。}

_{（1）求a的值。}

_{（2）设函数g(x)=xex-2x-f(x-a)-a+2,证明：函数g(x)无零点。}

_{解（1）：由题意知，，假如切点横坐标为x，则就有：，}

_{,解得a的值为1.}

_{点评：根据切点可以求出切线的斜率，同时切点也是函数所在的直线和切线的公共点。}

2. _{由题意知：g(x)=xex-lnx-x(x>0)}

_{根据函数g(x)得到它的导函数为进而可以得到二阶导函数，根据x的取值可以得到>0,进而判断(x)在定义域内单调递增，当x时，(x)，当x=1时，(x)>0,所以存在c}

_{(0,1)内有(c)=0，当x(0,c)时，(x)<0,g（x）在（0，c）内单调递减。当x(c,1)时，(x)>0,g（x)在（c,1）内单调递增，当x=c时，g(c)min=cec-lnc-c>0,所以函数g(x)无零点。}

_{点评：根据导数判断函数单调性，然后得到极大值或者极小值，进而判断零点个数。然后根据y=g(x)min>0或者y=g(x)max<0判断零点个数。}

零点问题是近年来高考常考的高频考点，需利用导函数的知识求解，解题过程中与函数单调性结合比较紧密，研究过程中，一个很重要的思路：常常将它转化为求函数极大值和极小值的问题。经过两道高考试题加以深入剖析以后，我们会得到不同的解题思路和解题方法，从而得到解决这种零点问题的一般思路和规律，思路得到优化，解题过程简洁明了。

参考文献：

1. 童其林.零点定义及零点定理的运用[J].中学数学杂志：高中版,2012,(6):28-31.

1. 陈辉.二次函数零点问题新解[J].中学课程辅导（教学研究）,2017,11(13):104-105.