带余除法中的“=”和同余中的“ ”

带余除法中的“ =”和同余中的“ ”

蒲小丽

浙江省杭州市长青小学

摘　要： 带余除法中的“=”与之前学习的等号（=）有很大的区别，是一个与等号不相同的记号。本文借助认识同余的概念，以及同余中的模（ ），更好地理解带余除法以及带余除法中的“=”。

关键词：　带余除法 等号 商不变性质 同余 模

一、一般意义上的等号　

人教版、北师大版、苏教版等各个版本的教材基本上都是在一年级上册就开始出现了等号（=），是学生较早认识的数学符号，代表同样多的意思。一开始，学生接触的等号（=）左右两边都是数，如1+2=3,1+4=2+3等。到小学高年级，学生开始接触x+100=250，6x=12,这种含有未知数的等式,等号（=）左右两边有可能是数，也有可能是量。

因此，几乎所有的小学生只要看到等号（=），都会认为等号（=）两边是同样多的数或者是同样多的量。等号两边的数或者量互相交换后，式子仍然成立。即，如果 那么 。而且等号具有传递性，也就是说，如果 那么 。

这样的认识，对于一般的等号是没有问题的，但是在带余除法（即有余数的除法）中，会出现问题。

二、带余除法中的“=”

　　《数学》二年级下第一次出现带余除法：将7个草莓摆到盘子里，每2个摆一盘，可以摆3盘，还剩1个。一个整数除以另一个不为 0的整数，得到整数商后还有余数；通常写作： 。读作 “a除以 b等于 q余 r”。 a叫作被除数 ，b叫作除数 ，求得的整数 q叫作不完全商 (也可以简称商 )，r叫作余数。

带余除法，在初等数论中有另一种表述方式：对于一对整数 a， b(b≠ 0)，存在唯一确定的整数q和r 满足 ：a=bq+r， ，这样的运算叫作有余数的除法 ，也叫作带余除法 。也就是说，带余除法是定义在自然数集上的一种运算，只要除数不为 0，不完全商和余数都存在 ，并且都是唯一的。

带余除法中“=”两边的式子可以互相交换吗？我们都知道是不能交换的，也没见过这样的式子。那为什么不能交换呢？

其实，带余除法中的“=”两边不都是确定的数。带余除法中“=”的左边是一个算式，其结果可以用一个确定的数表示，但是“=”的右边却不是一个确定的数，只是“=”左边的算式的结果的另一种表示方式。如:

这三个带余除法算式的“=”右边都是 ，但“=”左边的三个式子表示不同的数。

算式 中，“=”左边的式子可以用小数３.５或者分数 表示。

算式 中，“=”左边的式子可以用小数 或者分数 表示。

算式 中，“=”左边的式子可以用小数３.２５或者分数 表示。

所以，带余除法中“=”两边的式子是不可以互相交换的。也就是说，带余除法中的“=”与之前学习的等号有很大的区别，是一个与等号不相同的记号。

通过上面的例子，我们还可以发现， 对于给定的商（ ）和余数（ ），满足带余除法算式 的被除数（ ）和除数（ ）有无数个，是不唯一的，但被除数（ ）和除数（ ）是互相确定的。也就是说，被除数（ ）和除数（ ）其中一个确定了，另一个也随之确定。

对于给定的商（ ）和余数（ ），满足带余除法算式 的无数个被除数（ ）之间有什么联系呢？根据带余除法的定义，我们知道 ，也就是说满足带余除法算式 的所有被除数都是商（ ）的倍数加余数（ ）。对于任意两个被除数，较大的数减较小的数都能被商（ ）整除。

小学五年级下册经常会遇到一个与带余除法相关的问题，即《孙子算经》中“物不知其数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？题目的意思是一个整数除以 3 余 2， 除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个整数。

在小学阶段，一般都是用下面的方法解答。分别写出除以3余数是2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26…；除以5余数是3 的数：3、8、13、18、23、28…；除以7余数是2的数：2、9、16、23、30…。

不难发现，满足三个条件的第一个数字是23，所以23是这个问题的一个解。因为3、5、7彼此互质，它们的最小公倍数是105。也就是说，105除以3、除以5或者除以7都没有余数。因此， 都是这个问题的解。

在带余除法中，因为余数（ ）一定小于除数（ ），每个整数除以 的余数一定是0，1，2，．．．， 当中的一个。也就是说，我们可以根据除以 所得的余数，把所有的整数分成 类。

第１类，余数是０。如０， ， ，．．．

第２类，余数是１。如１， ， ，．．．

．．．

第 类，余数是 。如 ， ，．．．

其实，这就是初等数论中的一个概念，同余。

三、同余中的“ ”及其与带余除法的联系

同余的概念。设ｂ为正整数，ｍ和ｎ是整数，如果ｂ整除ｍ与ｎ的差，那么称ｍ和ｎ模ｂ同余。采用高斯发明的记号，表示成

根据定义可知，ｍ和ｎ模ｂ同余可以等价于ｍ除以ｂ和ｎ除以ｂ有相同的余数

（ ）。特别的，当r为0时，ｍ和0模ｂ同余等价于ｂ整除ｍ。

例如，１０和７模3同余于1，13和7模3同余于1，13和10模3同余于1。可以表示成 。

不难发现，每个整数模ｂ总会同余于0，1，2，...，ｂ-1当中一个。前面根据除以 所得的余数，把所有的整数分成的 类，也可以这样表述：

第１类：０， ， ，．．．，模 同余于０。

第２类：１， ， ，．．．，模 同余于１。

．．．

第 类： ， ，．．．，模 同余于 。

前面讲的“物不知其数”问题也可以用同余来表述，我们设所求的整数为 ，则可列出同余方程组

我们可以运用剩余定理解这个一次同余方程，这里不详述，有兴趣的可以查阅参考文献2第1章第4节这个剩余定理。

所以，把所有的整数进行分类这个角度看，带余除法的效果和同余的效果是一致的。

参考文献

1.代数学引论[M].聂灵沼，丁石孙.北京：高等教育出版社，2000.

2.代数与通信[M].冯克勤，刘凤梅.北京：高等教育出版社，2005.

3.“带余除法”与“除法”[J].贲有林.教育视界2016(8).

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