哥德巴赫猜想证明

哥德巴赫猜想证明

苑世强

大连海事大学 辽宁大连 116026

摘要：本文深入分析了素数形成合数的规律，深入分析了以合数为中心的自然数对称规律，建立了合数形成定理，建立了合数为中心的自然数对称定理，在此基础上进行了哥德巴赫猜想的证明，最终证明了哥德巴赫猜想是正确的。

关键词：哥德巴赫猜想 合数形成定理 合数为中心对称定理 证明

1 引言

1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想，这个猜想归纳起来就是，“任一大于2的偶数都可写成两个素数之和”， “任一大于7的奇数都可写成三个素数之和”。

哥德巴赫猜想提出后，人们一直在进行证明，其中偶数的哥德巴赫猜想的证明主要有四个途径，分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理和几乎哥德巴赫问题，但至今还没有成功，最新的成果还是1966年陈景润证明的“1+2”。

本文充分借鉴欧几里得证明素数是无穷多的方法，根据算术基本定理，深入分析素数形成合数的规律，深入分析以合数为中心的从零开始的连续自然数对称规律，对偶数除以2，所得数是素数和合数进行了分析，在此基础上，对哥德巴赫猜想进行证明，最终证明了哥德巴赫猜想。

2 大于2的偶数表示为2个素数之和的证明

2.1 已知条件

已知条件如下：

已知：素数是无穷多的。

已知：偶数中只有一个素数2，其余无穷多的素数都在奇数中。

已知：大于2的偶数只有4可写成两个2之和外，其余大于4的偶数如果可以写成两个素数之和的话，都只能是两个奇数中的素数之和。

已知：算术基本定理：比1大的整数，要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，而且如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形

1

式是唯一的。

已知：在一个大于1的数a和它2倍之间（即区间【a,2a】中）必存在至少一个素数。

已知：自然数无论是偶数还是奇数它们的2倍都是偶数。

已知，从零开始的连续自然数0、1、2、3、….n，是相邻两个自然数相差为1的数列。

已知：连续自然数无论以哪个数D为中心对称时，在2D之内，都是偶数对称偶数奇数对称奇数，且对称数相加都等于中心数2倍数，即等于2D这个偶数。

已知，偶数除以2，有两种结果：

一种是得数为素数，（如46除以2等于23为素数）。

另外一种是得数为合数，（如44除以2等于22为合数，42除以2等于21

为合数）。

当偶数除以2为素数时，这个偶数就可以写成这个素数自身两个相加。

所以，只要证明偶数除以 2为合数时，这个偶数可写成两个素数之和即可。

由于涉及到合数，我们先研究一下合数的形成特点和以合数为中心时从零开始的连续自然数的对称特点。

2.2 合数形成定理

已知，从零开始的连续自然数0、1、2、3、….n，是相邻两个自然数相差为1的数列。

所以，任意一个素数乘以从1开始的连续自然数1、2、3、4、5….n，可得到从这个素数开始的间距为这个素数的一组等间距数列，这个数列除这个素数外，其余全部是这个素数自身相乘或是这个素数与其它素数相乘所形成的合数。

如：素数2乘以从1开始的连续自然数数列1、2、3、4、5….n，

得到数列：2、4、6、8、10、12、14…….2n。它们是间距为素数2的等间距数列。

这个数列除素数2外，其余全部是素数2自身相乘或是素数2与其它素数相乘的合数。

如：素数3乘以从1开始的连续自然数数列1、2、3、4、5….n，

得到数列：3、6、9、12、15、18、21…..3n。它们是间距为素数3的等间

2

距数列。

这个数列除素数3外，其余全部是素数3自身相乘或是素数3与其它素数相乘的合数。

上面这个规律，对任何素数都适用。

由上可知，任意一个素数它所形成的合数，是这个素数乘以从2开始的连续自然数，所形成的合数是以这个素数为间距的一组等间距合数数列。

如：素数2乘以从2开始的连续自然数2、3、4、5….n。

得到合数是：4、6、8、10、12、14…….2n。

合数之间的间距为素数2。

用数轴表示是：

4…..6…..8…..10…..12…..14…..16…………. 2n。

我们可以把它写成N=2+2n， (其中n=1、2、3….n)。

如：素数3乘以从2开始的连续自然数2、3、4、5….n。

得到合数是：6、9、12、15、18、21…..3n。

合数之间的间距为素数3。

用数轴表示是：

6…….9…….12…….15…….18…….21………….. 3n。

我们可以把它写成N=3+3n， (其中n=1、2、3….n)。

这样全部素数形成的合数我们可写成：

N=

p_n + p_n.n(n=1、2、3….n)。

合数形成定理：任意一个素数它所形成的合数，是这个素数乘以从2开始的连续的自然数，以这个素数为间距的一组等间距的合数数列。

而所有素数形成的合数即为全部的合数。

一个合数，如果同时出现在几个素数形成的合数数列中，则这个合数就是这几个出现这个合数的素数相乘的积。

2.3 合数为中心的从零开始的连续自然数对称定理

已知：连续自然数无论以哪个数D为中心对称时，在2D之内都是偶数对称偶数奇数对称奇数。

已知：偶数中只有一个素数2，其余无穷多的素数都在奇数中。

3

已知：大于2的偶数只有4可写成两个2之和外，其余大于4的偶数如果可以写成两个素数之和的话，都只能是两个奇数中的素数之和。

所以，我们只研究合数为中心时，奇数的对称即可。

已知：算术基本定理，任意一个合数N，都是唯一一组特定素数相乘的积。

已知：每个素数形成的合数都是等间距的。

所以，当以合数N为中心时，形成合数N的特定素数的对称数，都是自身

形成的合数中的一个合数，而形成合数N每一个特定素数形成的其它合数，也

相互成对称关系。而不是形成合数N其它非特定素数，与自身形成的合数不成

对称关系，它们的合数也不成对称的关系。

如：合数N=21，是特定素数3和特定素数7相乘的积。

在2N以内（2N=42），素数3乘以从1开始的连续奇数数列所得数为：3、9、15、21、27、33、39。

在2N以内（2N=42），素数7乘以从1开始的连续奇数数列所得数为：7、21、35。

以合数21为中心的对称情况如下：

21

19 ---23

17 -------25

15………….27

13 ----------------29

11 ---------------------31

9………………………33

7 -------------------------------35

5 -------------------------------------37

3 ------------------------------------------39

我们看一下，素数3和它所形成的合数对称情况：

素数3与它形成的合数39相对称。

我们看一下，素数3所形成的合数之间对称情况：

素数3形成的合数9与素数3形成的合数33相对称。

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素数3形成的合数15与素数3形成的合数27相对称。

而素数3形成的合数21为中心自身相对称。

在2N之内（2N=42），此时素数3和它所形成的一个合数相互对称后，素数3它所形成的合数也相互间成对称，没有多余的合数和其它素数和其它合数相对称。

我们再看一下，素数7和它所形成的合数对称情况：

素数7与它形成的合数35相对称。

我们再看一下，素数7所形成的合数对称情况：

在2N之内（2N=42），在3到39之间素数7只形成了两个合数21和35，合数21为中心轴，自身对称，而合数35已和素数7自身相对称了，而不再有其它合数，它不存在合数之间的对称。

我们在看一下其它素数形成的合数，在2N之内（2N=42）的对称情况。

在3至21之间除素数3和素数7形成的合数外，已没有其它素数形成的合数。

在21至42之间除素数3和素数7形成的合数外，只有一个合数25，它是

素数5形成的合数，但它和素数5不成对称关系。

无论我们选取的合数N是多少，它都是特定素数相乘的积，这些特定的素数的对称数都是自身形成的合数中的一个合数，每一个特定素数形成的其它合数也相互成对称关系。而其它非特定素数与自身形成的合数不成对称关系，它们的合数也不成对称的关系。

可见，合数为中心的从零开始的连续自然数对称定理是：

从零开始的连续自然数，以任意一个合数N为中心对称时，在2N之内，形成这个合数的所有特定素数，每一个都与自身形成的一个合数对称，而且每一个特定素数所形成的其它合数也都成对称，且没有剩余的合数与其它自然数相对称。而每一个非特定素数与自身形成的合数都不对称，它们的合数也都不对称。

有了合数形成的定理和合数为中心的从零开始的连续自然数对称定理，哥德巴赫猜想就可以进行具体证明了。

2.4 具体证明

设素数从小到大依次排列为p₁，p₂，…，p_n。

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设N= p₁xp₂x…xp_n。

N为合数，N是特定素数p₁，p₂，…，p_n相乘的积。

合数N无论是偶数还是奇数， 2N都是偶数。

当以合数N为中心对称时，在2N之内，对称数相加等于2N这个偶数。

所以，当以合数N为中心对称时，根据合数形成定理和合数为中心从零开

始的连续自然数的对称定理，在2N之内，形成合数N的特定素数p₁，p₂，…，

p_n，都和它们自身形成的一个合数相对称，且它们各自形成的其它合数也都相对称，而没有剩余的合数与其它素数以及其它素数形成的合数相对称。

即，在2N之内，特定素数p₁，p₂，…，p_n，都对称了自身形成的一个合数。而特定素数p₁，p₂，…，p_n形成的其它合数，也都相互对称，没有剩余的合数。

又已知：在p_n与2 p_n之间必有一个素数存在。

而最小的素数是2，因此，合数N的最小数是2p_n。

所以N大于等于2p_n。

由于在p_n与2p_n之间的这个素数，不是形成合数N的特定素数，而是一个非

特定的素数，即，在p_n和N之间至少有一个非特定素数存在。

而当p_n和N之间只有一个非特定素数时，它的对称数一定是个素数。

因为，形成合数N的特定素数p₁，p₂，…，p_n，都对称了自身形成的一个合数。而且，这些特定素数所形成的其它合数之间也相互对称，而没有剩余的合数。

而p_n和N之间的这个素数不是形成合数N的特定素数，所以，这个非特定素数所形成的合数不和它自身对称，因此，这个非特定素数的对称数必是个素数。

设在p_n到N之间有m个非特定素数。

分别是：p_n+2x，……. p_n+2m (x=1，2…..m).。

我们知道，非特定素数p_n+2x，……. p_n+2m乘以p₁，p₂，…，p_n和乘以p_n+2x，……. p_n+2m之间的合数所形成的合数，都是已有的合数，不形成新的合数。

因此，非特定素数p_n+2x，……. p_n+2m所形成的新合数，是从p_n+2x开始的，

每一个非特定素数，乘以从它开始的非特定素数到非特定素数p_n+2m的乘积。

假设，在p_n和N之间有2个非特定素数，

它们是p_n+4和p_n+6，

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它们的间距是2。

而这2个非特定素数形成的新合数是：

N1=（p_n+4）x（p_n+4）= p_n p_n +8 p_n +16。

N2=（p_n+4）x（p_n+6）= p_n p_n +10 p_n +24。

N3=（p_n+6）x（p_n+6）= p_n p_n+12 p_n +36。

它们形成的新合数相邻2个之间的间距是：

N2—N1=（p_n p_n +10 p_n +24）—（p_n p_n +8 p_n +16）

=2（p_n+4）

N3—N2=（p_n p_n+12 p_n +36）—（p_n p_n +10 p_n +24）

=2（p_n+6）

即，3个新合数N1、N2、N3它们相邻2个之间的间距是：

N1、N2之间，间距是2（p_n+4）

N2、N3之间，间距是2（p_n+6）

它们都大于2。

所以，非特定素数p_n+4和p_n+6形成的新合数，不可能和非特定素数p_n+4和

p_n+6都交叉对称，非特定素数p_n+4和p_n+6至少有一个的对称数是素数。

可见，在p_n到N之间的非特定素数，不管有多少，它们相邻2个非特定素数所形成的新合数的相邻2个之间的间距，要远远大于形成它们的相邻2个非特定素数之间的间距，这样，相邻2个非特定素数所形成的新合数就不可能和形成它们的相邻2个非特定素数都交叉对称。

即，在p_n到N之间的所有非特定素数，不可能都对称它们所形成的新合数，它们之中至少有一个的对称数是素数，使2N可写成这2个对称素数之和。

因此，在p_n和N之间的非特定素数中，至少有一个非特定素数的对称数是素数。

所以，当p_n和N之间只有一个素数时，它的对称数一定是个素数。

当在p_n和N之间有多个素数时，至少有一个素数的对称数一定是个素数。

可见，一个偶数除以2，无论得数是素数还是合数，这个偶数都可以写成两个素数之和。

因此，大于2的偶数都可以写成两个素数之和的哥德巴赫猜想被证明。

7

证明完毕。

3 大于7的奇数表示为3个素数之和的证明

已知，大于2的偶数可表为两个素数之和。

又由于，奇数加偶数等于奇数。

所以，大于7的奇数M可表示为：

M=3+2n(n=3、4、5、、、n)。

由于，大于2的偶数2n都可以写成两个素数之和，

所以，大于7的奇数都可以写成三个素数之和。

证明完毕。

4 结论

根据上面的证明，我们知道：

每个合数都是特定素数相乘的积。

每个素数形成的合数都是成等间距向无穷大展开的。

所以，当以合数N为中心时，在2N内，形成这个合数的每一个特定素数都

与它自身形成的合数中的一个合数是成对称关系的，且每一个特定素数它自身形

成的其它合数也都成对称关系，而没有剩余的合数与其它数对称。

而小于N的每一个非特定素数（不是形成这个合数的素数），在2N内，与它自身所形成的合数及他们自身的合数之间都不成对称关系。

因此，必有至少一个非特定素数的对称数是素数，使2N这个偶数可写成这两个对称的素数之和。

即，任意一个大于2的偶数，除以2后，它或者是素数，或者是合数。

如果是素数，这个偶数可写成这个素数的2个之和。

如果是合数，则形成这个合数的每一个特定素数都与它自身所形成的合数中

的一个合数成对称关系，而每一个特定素数自身形成的其它合数也都成对称关系。

而此时，小于N的每一个非特定素数，都不与它自身所形成的合数成对称关系，

且每一个非特定素数它们自身形成的合数之间也不成对称关系。

因此，在这些非特定素数中，至少有一个素数的对称数是素数，使这个偶

数可写成这两个对称的素数之和。

而，由于大于2的偶数都可以写成两个素数之和，而大于7的奇数又都可以

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表示为M=3+2n(n=3、4、5、、、n)。这样大于7的奇数写成三个素数之和也同样被证明是正确的。

由此哥德巴赫猜想被证明是正确的。

由于哥德巴赫猜想被证明是正确的，所以哥德巴赫猜想可以称为哥德巴赫定

理。

作者简介：姓名：苑世强。职称：副教授。出生年月：1958年8月19日

学位：工学学士单位：大连海事大学马克思主义学院。

主要业务和研究方向：马克思主义理论、自然辩证法、数学、物理。

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