苗绣背带上的数学归纳法

苗绣背带上的数学归纳法

李成婵

贵州省镇宁民族中学 贵州省 561200

摘要 我县是布依族苗族自治县，在校学生大多数是少数民族，他们的数学成绩一直都不太理想，对数学也毫无兴趣。我们一直在尝试提起学生学习数学的兴趣，最后想到了将少数民族文化与课堂教学结合在一起的方式，教学效果也比较好。数学归纳法是数学思维方法中最重要最常用的方法之一，这不仅因为其中大量问题都与自然数有关，更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程，也是培养学生“创新意识”的一个工具。它给我们提供了思考问题的原则，从简单入手，在看透简单的基础上再复杂一步，找出一般规律。这正是数学归纳法的精髓，也正是它被广泛应用的根本原因所在。

[关键词]民族文化；数学归纳法；创新；

一、知识来源

本节课程主要内容来源于人民教育出版社A版选修2-2第二章第三节《数学归纳法》。

二、设计背景

苗绣是苗族姑娘必会的一项手艺，他们会将自己觉得优秀的苗绣作品送给自己认为重要的人。首先，他们会在绣布上绣上自己设计的作品，绣好的作品称为绣片。有的绣片被镶嵌在苗族服饰上，苗族姑娘们穿上它，形成了一道靓丽的风景。除此，绣片还会被用在背带（背孩子的工具）上；装裱后挂在墙上；被作为收藏品等等。在布依族苗族自治县赶集的时候，你会在街上看到这样的风景，有人用漂亮的背带背着孩子在街上赶集。

三、教学目标

（一）通过背带上的图案探究数学归纳法的原理，能用数学归纳法解决简单的数学问题。

（二）利用背带上的图案教会学生从具体事物上抽象出数学问题，联系生活，体验“数学来源于生活”。

（三）让学生体验“由特殊到一般”的推理过程，推导出数学归纳法的一般步骤。

四、教学重难点

重点：数学归纳法的步骤

难点：理解步骤之间的联系，以及作此步骤的原因。

五、教具准备

ppt课件；视频；

六、教学方法

根据本节课的特点，为了更有效的突出重点，突破难点，本节课运用了启发式教学法、讲授法、问答法。

七、教学过程

（一）情景引入 激发兴趣

情境一（播放多米诺骨牌视频）

下面，我们一起来看一个视频。

老师：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？

学生：第一张骨牌倒下

老师：为什么只要第一张牌倒下就能让全部的牌倒下？

学生：因为第一张会导致第二张倒下，第二张又会导致第三张倒下，以此类推，最后一张牌也会倒下。

思考：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？

老师根据学生的回答总结条件如下：

条件一：第一张骨牌倒下

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

老师：你能不能用数学语言总结出多米诺骨牌倒下的条件？

我们可以令骨牌的顺序为 ，那第一个条件表述为数学语言就是，当 时，骨牌只有一张，第一张骨牌倒下，也就意味着全部骨牌都倒下。因此，我们可以表述如下：

当 时，骨牌全部倒下。

老师：如果我们令第 张骨牌倒下，那么？

学生：第 张也会倒下。

因此，我们可以用数学语言表述第二个条件。

当 时，第 张骨牌倒下，则第 张骨牌也会倒下，所有的骨牌都倒下。

[设计意图]

多米诺骨牌是探究数学归纳法步骤的一个重要的工具，除了本身具备游戏的特点能吸引学生外，对于本节课，它易于理解，容易探究。

（二）深入探究 得出结论

看完多米诺骨牌的视频后，我们一起来探究下面这个问题。

思考：如何证明；

（证明本题对任意正整数都成立相当于验证让骨牌全部倒下的条件）

通过以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的两个条件。师生共同探究得到解决引例的方法：

（1）第一块骨牌倒下相当于证明当 时，命题成立；

（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当 时命题成立，证明当 时命题也成立。

老师：（投影）证明 的两个步骤：

（1）证明当 时，命题成立；

（2）假设当 时命题成立，证明当 时命题也成立。

证明：（1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立；

2. 假设当 时，等式成立。

即：

那么：

即：当 时，等式成立。

思考：第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块、第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？

注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时， 是使命题成立的最小正整数， 不一定取1，也可以取其它正整数。

老师：（板书） “数学归纳法”

一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；

（2）（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从 开始的所有正整数 都成立。

[设计意图]

通过本环节理解数学归纳法的步骤，总结出数学归纳法的概念。

（三）解决问题 及时反馈

现在我们回到刚才的问题。

题目：在一个数列中，已知 ，且 ，请用 表示 .（不使用等比数列相关知识）

_{解：猜想该数列的通项公式是}

_{证明如下：}

（1）当 时， ，猜想成立。

2. 假设当 时， 成立

当 时， ，猜想成立。

所以数列的通项公式是

[设计意图]

利用刚学地知识解决一开始面临的问题，起到承上启下的作用。并且能让学生马上通过该题收悉数学归纳法的使用。

（四）反馈练习 加深理解

用数学归纳法证明：

（五）归纳小结 概念提升

问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）

　　应用数学归纳法要注意以下几点：

1. 第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；

2. 第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；

3. 是使命题成立的最小正整数， 不一定取1，也可取其它一些正整数；

4. 第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。

[设计意图]

这一步是学生理解数学归纳法的关键，若是只讲解前面的问题，学生最多能把握数学归纳法的步骤，不能掌握数学归纳法。该环节让学生理解数学归纳法的每一步不是可有可无的，都是相辅相成的。

（六）布置作业

1.书面作业：P96习题2.3Ａ组，第1题（1）（3）；

2.思考1：情景一中的第 个正方形面积该如何表示（不能使用等比数列相关知识）

思考2：习题2.3A组第1题其它证明方法。

[设计意图]

第1题书面作业帮助学生巩固数学归纳法，第二题思考1要求学生不能使用等比数列相关知识解决，达到对数学归纳法的巩固练习。第2题思考2可以利用数列求和，让学生比较两种方法，说明数学归纳法并不是解决与正整数有关问题的唯一方法，同时也提醒学生利用数学归纳法证明的第二步不能用数列求和公式。

八、板书设计

§2.3.1 数学归纳法（一） 例1：…… 学生板演

数学归纳法： 证明：…… ……

1. …… ……

2. ……

…………