广西合浦县山口镇初级中学 536122
摘要:初中阶段的几何动态问题中,在一个几何元素给出条件变动时,求长度、面积和周长等几何量的最大或最小值,称为最值问题。我国各地中考数学几何题重点考察学生空间想象能力、实践操作能力和解决问题能力等,本文将结合实际情况对几何最值问题进行简要分析。
关键词:初中数学;几何;最值;解决方法
引言
新课程改革以来,数学教育越发受到关注,数学文化在教育中处于领先地位。数学文化对数学教育具有积极作用,为积极响应我国课程标准,应将数学文化融于初中数学课程。笔者将初中几何课程作为研究对象,通过教育教学各个环节,对所开发成果进行改进与完善。
一、应用几何性质
(一)利用两点之间线段最短原理解题
图1为一个圆柱体,其半径为4厘米,高为18π厘米。圆柱两个底面的圆周上点A和点B,并且这两点在同一母线上,用一条线围着圆柱侧面绕三圈刚好可以从点A到点B,请求出这条线的最短长度是多少。
图1
分析:将圆柱展开成一个长方形,如图2,这条线最短长度是三条斜线的长度总和。第一条直线与底面圆的周长,以及圆柱三分之一的高形成一个直角三角形。
图2
根据周长公式可知,底面圆周长为8π厘米,圆柱高的三分之一为6π厘米。根据勾股定理,可得一条斜线长度为10π厘米,因为三条斜线组成的是平行四边形,所以斜线长度相等,所以,这条线长度最短为30π厘米。两点之间,线段最短使初中学生需要掌握的基本内容之一,人们在日常生活中也在不断验证。初中数学教学过程中,短距离问题是重要知识,更是中考热点题型。近些年,经常出现“最短类”题型。根据这题可知,最值问题与立体图形相结合的题型,往往需将立体图形转化为平面图形,也就是绘制出立体图形的展开图,进而利用“两点之间,线段最短”原理,结合勾股定理,进行解题。这些原理在整个初中阶段有着非常广泛的应用。初中数学教师应在总复习时,将这类问题进行整合,分类讲解,可以使学生更好的运用。
(二)利用三角形三边关系解题
在图3中,∠MON = 90°,矩形 ABCD的顶点A在边OM上,顶点B在ON上。在矩形 ABCD的形状保持不变的前提下,A在OM上的运动随着B在ON上的运动而变化,AB = 2,BC = 1,运动过程中,点 D 到点 O 的最大距离是多少。
图3
分析:在图3中,取 AB 的中点 E,连接 OE、DE和OD。因为 OD ≤ OE + DE,所以当 O、D、E 三点共线时,点 D 到点 O 的距离最大,此时,AB = 2,BC = 1,所以 OE = AE =1/2AB = 1。所以 OD 的最大值为 + 1。由此题可知,这种题型往往需要结合实际图形的特征,并利用其图形特征,将问题转化到三角形三边关系相关原理,从而解决问题。在学生初步认识三角形三边关系后,这部分知识内容可以帮助初中生对周围事物加深理解,更可以利用此内容解决问题。在授课过程中,教师应多多提供给学生自己动手操作的机会,方可使学生充分掌握三角形三边关系的特性。比如,教师可以利用生活中积累的经验,为学生创设有效的实践活动,使学生在实践中,感悟其中原理。当学生发现三角形中,两边之和大于第三边的规律,可以让学生进行探究反思。所谓动点问题,即图形中存在可以运动的点,在线段上运动的题目。这类题型解决的有效方法是动中取静,使动点定下来,在通过相关知识定理解题。动点问题的解题思路为:在变化中找到不变的性质。
(三)利用垂线最短解题
在图4中,A点的坐标为( -1,0),点B在直线 y = x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B
的坐标为( )
(A)(- - ,- -
)(B)(
,
)(C)(0,0)(D)(-
,-
)
图4
分析:因为点 B 在直线 y = x 上运动,所以△AOB' 是等腰直角三角形,所以△B'CO 为等腰直角三角形。因为点 A 的坐标为(- 1,0),所以OC = CB' =1/2OA= ,所以点B的坐标为(- -
,- -
),因此选择选项A
(四)利用轴对称解题
在图5中,有正方形ABCD,BC = 8,BC 的中点为点E,点对角线 AC 上有一个动点P,求
BP+ EP的最小值是多少。
图5
分析:连接DE,交BD于点P,连接BD。因为点 B 与点 D 关于 AC 对称,所以DE 的长就是BP+ EP的最小值。因为点E是BC的中点,BC=8。所以CE = 4。在直角三角形CDE中,DE = =5
。本题的难点在于需要画辅助线,在这种题型中,可以通过图形规律画出辅助线。在讲解此种类型题时,教师可以引导学生进行画线,从而培养学生数形结合的思维,使学生再次遇到这种题型时,可以及时形成解题思路。中考数学压轴题渐渐转向动态几何和实验探究题型。学生对几何图形的运动变化考核更加严格,在解题过程中,学生可以通过翻着图形、对称图形等方法,研究图形的变化以及图形性质。学生在经历了自主探究后,可以将运动观点和转换思想结合起来,提高其逻辑思维能力、分析能力等。
二、代数证法
(一)利用一元二次方程根的判别式
已知:x>0,y>0 且- +-
= 1,求 2x + y的最小值。
分析:使2x + y = t,可得y = t-2x。将其带入- +-
= 1中,得出-
+-
= 1,2
-tx + t = 0。因为x 是实数,所以Δ = t 2-8t≥0,所以t≥8,或 t≤0。又因为x>0,y> 0,
可得t≥8.
故 2x + y 的最小值为8。
(二)利用配方法进行解题
图6是一扇窗户,窗户由半圆与矩形组合而成。已知窗户周长是8米,在保证窗户透光性最好的前提下,怎样求出最大面积?
图6
分析:可以用x 表示半圆半径,y表示矩形边长AD,可得2x + 2y +πx = 8,所以,y =- 。设窗户的最大面积为 S,则S = 2xy +
π
,两个式子结合,y =-
=x,也就是说,窗户周长固定时,其下部长方形的宽正好为半径时,窗户面积最大。初中数学竞赛中常常出现一元二次方程的整数根的题型。这类问题涵盖知识面比较广泛,包括方程相关内容和整数相关内容。其中的数学思想受到很多命题人员的喜爱。然而,部分学生在进行解题时,没有解题结构,缺乏思考方法。甚至有小部分学生对题目无从下手,这就需要数学教师进行分类讲解。这这种题型中,计算量相对较大,教师需要引导学生耐心对待。这类方程相关的题型,可以锻炼学生的思维能力,使初中生的思维更加灵活敏捷。解题时要分析其特征,运用初中所学数学知识,选择相对简单的解题方法。这种题型所占比重很大,学生有必要提高解题思路,锻炼解题能力。公式法、配方法和因式分解法是解一元二次方程的常用方法,所以,初中数学授课过程中,要加强对这几种方法的练习。
三、结束语
总之,初中数学教学中,几何最值问题的教学一直是一个难题。部分学生对此没有清晰解题思路,教师应根据学生实际学习情况以及个体差异,通过有效教学手段讲解几何最值问题的解题思路,并进行相关题型练习,提高学生解题能力。
参考文献:
[1]吴世平. CAMI在初中几何教学的应用研究[D].湖南科技大学,2015.
[2]马心雨. 数学文化视角下初中几何教学设计研究[D].辽宁师范大学,2020.
[3]蒋雁. 基于核心素养背景下初中几何最值问题的解题方法[J]. 数理化解题研究,2019(20):33-34.
[4]兰春燕. 初中数学常见“几何最值问题”探析[J]. 福建基础教育研究,2019(08):65-67.