自然数的奥密

自然数的奥密

申荣

_{贵州省贵阳市女子职业学校数学教研组退休教师 贵州 贵阳 550002}

_{【摘要】本文研究自然数，自然数中存在着许多不为人知的奥密，希望人类去研究去探索，以下几个定理：《余数定理》；《素数判定定理》；《偶数分解定理》揭示了自然数中的一些奥密：（以下在自然数內讨论）}

_{【关键词】素数，余数，对称数。}

_{定理一 《余数定理》曾发表于《中国当代教育杂志》2004年02B总第59期73页。}

定理 二：《素数判定定理》

引理1：设r₁ <r₂ <………………<r_q< <r_q+1 <………………<r_2q 是与n互素之数,对于

必存在 使得 （对称数原理）

证明： 且与n互素，n- 也与n互素。设 则有 .

(我们称 关于n为对称数）。

引理2：若 互为对称数，（ 与n互素）则有： （mod n）。

证明： 即 （mod n）

引理3：设 ，是与n互素之数，

若q为偶数，则 （mod n）

若q为奇数则 （mod n）

证明： 对任意 ，存在 ，使得 （mod n）

（mod n）

当q为偶数时： （mod n）

当q为奇数时： （mod n）。

定理：素数判定定理： 对任意自然数n，2n+1是素数的充要条件是：

证明： 充分性： 2n+1 是素数， 与（2n+1）互素，

由引理3，

即 即 。

必要性：由假设: 证(2n+1)为素数 .

反证法: 若(2n+1)不是素数, 则设: 是与(2n+1)互素之数,

由(余数定理) : 或

即: 或

又 即 或 在 (2n)! 中—定含有: 的因子.

设 (2n)!=A×B B= 则有 或 (mod(2n+1))

但 是分数, 显然分数不能与整数同余. 矛盾, (2n+1) 是素数.

_{下证：是分数， 由契比谢夫定理在与n之间存在素数p，使得： ＜p< n}

_{若p与（2n+1）互素，则p，2p与（2n+1）互素，4p>（2n+1）在A中}

_{只可能有3p因子，但在n!n!中含有因子,为分数.}

_{若p与(2n+1)不互素, 则(2n+1)=mp ,又因为4p>(2n+1)m=3}

_{存在即与(2n+1)互素,}

_{6>(2n+1) 在A中只可能含有3因子 ,而在n!n!中含有因子.}

_{为分数,所以矛盾, 所以(2n+1)为素数. 证毕}

_{定义: 若P是素数, P十2也是素数,则称为素数对,由素数判定定理我们可以找出自然数中的全部素数及所有素数对.因为: P十2=P十1十1=2()+1.设: m= 则2m+1是素数的充要条件是:(2m+1)|或(2m+1)|由此可求出所有素数对.}

_{定义: 设<n的全部素数,(i=1………k)则2n-中只要有一个为素数,则2n为哥德巴赫数.}

_{2n-=2n--1+1=2(n-)+1 则设m=(n-),由素数判定定理可以求出所有的}

_{哥德巴赫数. 理论上可以求出所有的素数及素数对和所有的哥德巴赫数.}

_{定理三 < 偶数分解定理>}

_{定理：设n是大于等于3的自然数，存在小于2n使得：《—》式 2n-}

_{《二》式 2n- 成立。（都是奇素数）}

_{证明：我们用数学归纳法来证明。}

_当n=3时

_{《一》2x3-3=3 《二》2x3-（5-2）=3}

_{当 n=4 时}

_{2x4-5=3 2x4-（5-2）=5}

_{当 n=5 时}

_{2x5-5=5 2x5-（5-2）=7}

_当n=6

_{2x6-5=7 2x6-（7-2）=7}

_当n=7时

_{2x7-7=7 2x7-（11-2）=5}

_当n=8时

_{2x8-11=5 2x8-（11-2）=7}

_当n=9时

_{2x9-11=7 2x9-（17-2）=3}

_当n=10时

_{2x10-17=3 2x10-（5-2）=17}

_{| |}

_{| |}

_{| |}

_{| |}

_{由归纳法假设当n=k时等式成立。}

_{即n= k时}

_{2k- 2k-（）= 成立。 （小于2k的奇素数）}

_{所以 当n=k+1 时}

_{2（k+1）-=m （m不一定为素数）}

_{但2（k+1）-=2k+2-=2k-（）=}

_{所以《—》式：2n- 成立。}

_{由《—》式成立，所以当n=k+2时}

_{2（k+2）- 成立。 （小于2（k+2）的奇素数）}

_{而2（k+2）-=2（k+1）+2-=2（k+1）-（-2）= 成立}

_{所以《二》式：2n-（-2）= 成立。定理证毕。}

_{这个定理说明了任何大于等于6的偶数都可以分成两素数之和，同时也可分为一素数与2之差与另一素数之和。,由素数的定义：一个数除了1和它本身外不能被其它数整除。那么1也是素数。所以2=1+1，4=1+3，这样任何偶数都可以分为两奇素数之和。 （由此定理任何偶数都是哥德巴赫数）}

_{中国， 贵州省，贵阳市女子职业学校退休教师申荣。}

_{家庭住址：南明区解放西路91号，电话18984080477。}