数学广角---数与形

数学广角 ---数与形

傅建佳

浙江省诸暨市天马实验学校小学部

【摘要】

数学是研究数量关系、空间形式及关系的学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形性质的问题很好地转化，通过几何直观地帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化。数形结合思想可以说涉及数学学科的各个领域，本课内容主要是通过发现规律解决问题帮助学生建立数形结合的数学思想，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助教”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化教学效果。

【关键词】数与形 数学广角 数形结合

【缘由】

小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主，教材在小学中年级的数学教学中，已经逐渐借助推理与知识迁移来完成，并结合教材挖掘、创造条件开始渗透数形结合思想。进入中高年级后，学生逻辑思维能力已有一定发展，为了使学生更直观的理解知识，同时又满足学生逻辑思维能力的发展，因此本节教学重点体现了先“形”后“数”的顺序，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑能力而服务。

【过程】

一、游戏引入

1、课件出示图形让学生猜数，再出示算式3×2=6、2×2=4,让学生猜形。在刚才的游戏中由形想到了数、由数猜到了形。师引导：其实在我们的生活中，有数就有形、有形就有数，数与形的有效结合在我们数学上是一种重要的数学思想，今天这节课我们就一起来研究数与形。

二、复习铺垫

首先我们来看一个形的问题，课件出示，你能接着往下画吗？再来看一个数的问题，你知道括号里能填几吗，这一串数有什么样的特点？ 这一题你能找到其中的规律吗,这一列数都是什么数？（奇数）

接下来老师想和同学们一起研究一个神奇的问题。什么问题呢？就是从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？在算和是多少之前，我们先看看在这一问题中应注意有什么要求呢？（从1开始、连续奇数、n个）

三、动手实践 以形解数

（一）以形助数，建立联系

1、从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？n个是几个（无数个），这个n代表多少？可以代表200个吗？还可能是20个？2个呢？（可以）

也就是说，它的个数是不固定的，那它的个数不固定，它的和呢？可见这个和一定和n有关系，它们到底有什么联系呢？怎么才能知道呢？你有方法吗？想一想你有没有好的思路。

数学中有一种化繁为简的研究思想，就是用简单的算式去研究复杂算式中的规律，因此这个复杂的问题我们从最简单的开始，几个最简单？ 1个最简单，就是1个这样的奇数那算式也只能是1，和也是1。如果有两个这样的奇数相加，那算式应该是什么样子的？（1+3）和呢?3个连续奇数相加呢（1+3+5=9）4个呢？（1+3+5+7=16）

（二）引导观察 发现规律

1、请同学们认真观察这些算式，你有什么发现？关键是后面的算式是不是都有这个规律？

2、汇报交流

我们发现：①每个后面的数都是加2，而且是奇数；它们都是从1开始的连续相加。②它们的和是一个数地平方。如4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方。③它们的和是加数个数的平方。

3、小结：按同学们的说法，当有1个连续的奇数相加的时候，它的和就是1×1；也就是1的平方，当有2个连续的奇数相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方，依次下去，看来真的有这样的规律，以此类推，如果有10个这样的连续奇数相加，和应该是多少？（100）怎么算？（10×10=100）那100个呢？（100×100）=10000）以此类推，如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少？（n的平方）所以从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。

4、这个规律有意思吗？从1开始的几个连续奇数，它的和竟然可以用它的个数的平方来算？为什么这样连续奇数相加的和可以用这个数的平方来算？

（三）数形结合，解释规律

著名数学家华罗庚说过：“不懂就画图”。那我们一起来拼一拼图，哪个最简单？

（1）我用1个磁珠来代表1，1个算式是1，和也是1，下一个1+3，你能用这样的图形来表示出来吗？（学生小组合作动手拼一拼）

（2）小组展示，汇报交流

“1”在哪里？“3”呢，这个正方形可以表示1+3吗？这个图除了用1+3来算还可怎么算？（2×2）说一说2×2在哪里？（每行有2个有2行，就是2个2，即2×2）。

师：有2列，又有2行，就表示2×2，看来，拼成正方形，就可以表示从1开始的连续奇数相加，还可以表示一个数的平方，这们的1+3就可以用2×2来算，那接下去呢？1+3+5又该怎么拼？（动手拼一拼）

（3）汇报展示

你能解释1+3+5用3的平方来算吗？（横着竖着都是3个）横着每行有三个，而且有3行，所以可用3的平方来计算，那1+3+5+7呢？你觉得这个7可以怎么摆？摆在哪里，它在原来的基础上增加一个什么形，请你比划比划，指名上台比划。

（四）以此类推，提炼规律

课件展示这个正方形的每条边上有几个小正方形？有几行？这些不同的颜色分别表示几？为什么1+3+5+7可用4的平方来算？如果继续这样拼下去，再加上一个奇数9，现在有几个奇数？而且大正方形每条边上的个数是5，有这样的5行，所以它的和可用5的平方来算，那继续拼下去，再增加一个奇数11，可怎么算，以此类推，如果有n个这样的连续奇数相加，和就可以用 n的平方来计算，因此从1开始n个连续奇数相加的和是n的平方。

【反思】

本节课我以游戏的方式引出课程，吸引学生的注意力，为接下来的课程做了铺垫。正所谓“温故而知新，可以为师矣”，在讲授新课之前带学生复习以前的知识，也能检验出学生课后学习巩固的效果。“时间是检验真理的唯一标准”，我带领学生以动手实践的方式去深入学习，引导学生思考讨论，让学生自己发现规律、总结规律，从而印象更加深刻。