新高考背景下高中数学的问题化与情境化教学

新高考背景下高中数学的问题化与情境化教学

张长美

山东省高密市第二中学

2017年，教育部印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中提出了六大“核心素养”，我认为其中自主发展中的学会学是对学生学习、对教师课堂教学的一个重大变革。

面对新高考，不管是哪一科都再强调阅读，为什么阅读会成为学生高考的一个难关呢？是因为我们教师对学生的学习能力、自主解决问题的能力、实践创新能力的培养太少了。以往教师教、学生学的课堂不再适应新高考下的教学，我们的课堂需要改变。高考中的“四层”“四翼”突出基础性。高考围绕学科主干内容，加强对基本概念、基本思想方法的考查，引导教学重视教材，夯实学生学习基础，给学生提供深度学习和思考的空间。同时“四翼”也十分注重综合性、应用性与创新性，通过设置真实的问题情境，培养学生灵活运用所学知识解决问题的能力。以实现全面育人，师德为先；敬业爱岗，乐于探索；更新观念，锐意进取的新教学理念。通过让学生自主参与，深度思考，获得知识，形成思维，学会沟通与合作，学会学习与思考。所谓好的学习应该是让学生由被动学习变成主动学习，让学习过程在学生的思维活动中真正发生。若能达到“以学带教，以教促学”的效果，更是一箭双雕的收获。

下面我以《椭圆的定义及其标准方程》为主题设计来说一下我如何在高中数学课堂中进行问题化和情境化教学。

一、学习目标

1. 通过动手操作理解椭圆的定义，并掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题，培养数学抽象的核心素养；

2. 根据求轨迹方程的步骤能够推导出椭圆的标准方程，并明确焦点、焦距的概念，能运用标准方程解决相关问题，提升逻辑推理与数学运算的核心素养；

3.通过目标1和目标2中对椭圆定义及标准方程的理解，能够利用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养。

学习目标的叙写中有明确的活动，可以让学生知道怎么学习本主题，以及本主题的重点是什么？有本主题需要达到的目标，可以让学生在学习后自我检测是否完成本主题的目标。

二、情境引入

在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的，你能用数学知识证明这一点吗？

该主题椭圆的标准方程的情境较多，也可以选择我们行星的运行轨道的情境，在引入本节主题的同时还可以培养学生的爱国情怀。而我选择该化学实验中的一个众所周知的现象，除了可以更好的引起学生的学习兴趣以外，圆柱中证明椭圆也是高中数学中知识融合的一个点，也是可以命题的一个点，但是这样的题对学生来讲又是一个难点，基于以上原因我原则该情境，希望学生在学习完本主题后，可以通过椭圆的定义自行证明该现象，可以达到运用数学知识解决实际问题的目的，培养学生数学建模的核心素养，同时可以让学生在平时的学习中体会数学不同模块的知识点融合，不至于在考试中遇到知识点融合问题无从下手。

三、课内探究

探究任务一：椭圆的定义

【数学实验】准备材料：白纸、细绳、笔

实验步骤：同位合作，一位同学将细绳固定在白纸的两个定点上，另一位同学用笔将细绳拉紧在白纸上慢慢移动，观察所化的图形

可以多次操作以上实验思考下列问题：

1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

设计目的：让学生动手画出椭圆，通过思考给出的三个问题，深化理解椭圆的概念

【概念形成】

1.定义：如果F₁，F₂是平面内的两个定点，a是一个常数，则动点P的轨迹称为椭圆满足的条件是什么？

2.两个定点F₁，F₂称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F₁F₂|称为椭圆的 ．

思考：椭圆定义中，将“大于|F₁F₂|”改为“等于|F₁F₂|”或“小于|F₁F₂|”的常数，其他条件不变，那么P点的轨迹是什么？

针对练习：(多选题)下列命题是真命题的是(　　)

A．已知定点F₁(－1,0)，F₂(1,0)，则满足|PF₁|＋|PF₂|＝的点P的轨迹为椭圆

B．已知定点F₁(－2,0)，F₂(2,0)，则满足|PF₁|＋|PF₂|＝4的点P的轨迹为线段

C．到定点F₁(－3,0)，F₂(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆

D．若点P到定点F₁(－4,0)，F₂(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F₁(－4,0)，F₂(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆

检测目标1，通过该小题可以检测学生对椭圆定义的掌握情况，同时加深学生对概念的理解

探 究任务二：椭圆的标准方程

（一）根据椭圆的定义式，求椭圆的标准方程

思考：1.坐标法求轨迹方程的步骤是什么？

2.设|F₁F₂|=2c，如图位置的椭圆怎么建立直角坐标系？

3.求出点

P的轨迹方程

通 过问题引导学生自己动手推导出椭圆的标准方程，提高学生的数学计算的核心素养。在推导过程中，对于含有两个根号的等式化简问题可以让学生通过平方和有理化两个方面展开讨论。

思考：1.如图的椭圆怎么建立坐标系？

2.观察椭圆中坐标与焦点在x轴的椭圆的坐标的关系，

写出椭圆的标准方程是什么？

通过两个问题引导学生类比焦点在x轴的椭圆的标准方程得到焦点在y轴的椭圆的标准方程

（二）椭圆的标准方程

根据所求的椭圆的标准方程完成下表

思考：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？

例1.分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是F₁ (0,5)、F₂(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．

（2）两个焦点的坐标分别是F₁(－4,0)，F₂(4,0)，并且椭圆经过点（，）

检测目标3，通过该例题可以检测学生对椭圆的标准方程中a,b,c的关系和待定系数法求标准房的掌握，同时引导学生观察求出的椭圆的标准方程，得出焦点位置与a,b的关系

观察例1中两个方程，思考：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？

针对练习：判断下列椭圆的焦点位置，并指明a²，b²，写出焦点坐标

（1）＋＝1 (2) ＋＝1

检测目标2，通过该小题让学生进一步加深通过椭圆的标准方程判断焦点的位置

例2. 已知方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

变式：该方程焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是什么？该方程表示椭圆，则k的取值范围是什么？

检测目标2，通过该例题让学生进一步理解椭圆的标准方程的形式

探究任务三：椭圆的定义及其应用

例 3.已知B,C是平面内的两个定点，BC=8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。

变式：如图，圆C：(x＋1)²＋y²＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．

拓 展：请利用椭圆的定义证明情境引入中的问题，如下图所示

检测目标3，通过该探究任务的设置检测学生对椭圆的定义的应用，提升学生利用数学知识解决实际问题的能力

四、课堂反思

1.通过本主题的学习，你学到了什么？请用表格或知识树的形式进行总结，并对照学习目标进行自我评价

2.在评价过程中请总结本节课所涉及到的数学思想方法和不同问题的解决步骤

五、课后作业

人教B版（2019）选择性必修一第128页练习A组1，2，3，4为必做题。第5题为选做题，请学有余力的同学完成