概率学中几种特殊分布的教学研究

概率学中几种特殊分布的教学研究

葛玉丽 刘露露

南阳师范学院

摘要:本文介绍了概率统计的相关知识在实际问题中的应用，主要围绕正态分布，二项分布，泊松分布等有关知识的教学研究，探讨概率统计与实际生活的密切联系，为达到应用概率知识解决实际问题的教学目标奠定了一定的理论基础.

关键词: 正态分布; 二项分布;泊松分布

应用概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科，广泛应用于日常生活之中，与我们的现实生活紧密相连，对我们的生活产生着巨大的影响.随机变量的分布是概率论的主要内容之一，几种常见的概率分布有正态分布，二项分布，泊松分布及几何分布等，文献[1]-[4]分别从多个角度探究了概率论中特殊分布的应用.本文将从这几种特殊分布的定义及性质出发进行教学研究，讨论它们在各个领域中的应用，加深我们对概率和统计的理解，更好地进行日常教学。

1正态分布的定义及应用

1.1正态分布的定义

设连续型随机变量 的密度函数为 ，其中 是正态分布的期望， 是正态分布的标准差， 是正态分布随机抽取的样本值，则称随机变量 服从参数为μ与 的正态分布，记为 .当 = 0, = 1时，密度函数为 ，这时称 服从标准正态分布，记作 .

若随机变量 服从于数学期望为 、方差为 的正态分布，记为 ，期望值 决定了曲线的位置，标准差 决定了曲线分布的幅度. 决定了图形的中心位置， 决定了图形中曲线的陡峭程度.当 较大时，曲线趋于平缓；当 较小时，曲线趋于陡峭 .正态分布的曲线两头低，中间高，左右对称，因其曲线呈钟形，故人们又经常称之为钟形曲线.

1.2正态分布的应用

通过正态分布来分析乘车时间的长短，从而优先选择比较合适的出行路线.

例1 王某打算从市中心乘车前往飞机场，一共有两条路线可供选择，第一条路线穿过市区，优点是路程较短，但是市内交通较为拥挤，所需时间服从正态分布 ；第二条路线是绕过拥挤的市内路段，从环城公路行驶，路线较长，但是交通疏散，所需时间服从正态分布 .

(1)假如有70分钟可用，问应走哪条路线?

(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线?

解 (1)有70分钟可用时，走路线1的概率为

走路线2到达的概率为

所以应走路线2更加节省时间.

(2)有65分钟可用时，走路线1的概率为

走路线2到达的概率为

所以应走路线1更加节省时间.

2 二项分布的定义及应用

2.1二项分布的定义

一般在 次独立重复的试验中，设事件 发生的次数为 ，每次试验中事件 发生的概率为 ，那么在n次独立重复试验中，事件 发生 次的概率为_， ， ，此时称随机变量 服从二项分布，记作 .

2.2二项分布的应用

二项分布的在生活中的应用非常广泛，变化也是多种多样的.在现代的生产、经营、管理活动中，我们常常会遇到一些比较复杂的实际问题，比如如何合理分配电力水力资源、合理确定包装物品的数量、估算商品的存量、确定产品的合格率及多种方案优选等决策问题，影响这些决策问题的因素具有偶然性与随机性，这些问题通过恰当的处理和转化后，可以利用二项分布的相关知识来解决.

例2豚鼠的毛色是由一对等位基因控制，黑色为显性(B)，白色为隐性(b).如果有一对杂合型黑色豚鼠(Bb)相互交配，求

（1）4个后代的毛色依次为黑、黑、黑和白的概率是多少?

（2）在4个后代中是3黑1白的概率是多少?

（3）n个后代中出现r只黑色豚鼠的概率是多少?

解（1）后代毛色为黑色的概率为 ，后代毛色为白色的概率为 ，则4个后代的毛色依次为黑、黑、黑和白的概率为 .

（2） 如下图所示，4个后代的毛色出现3黑1白的方式可能有以下4种情况，实际上在4个后代中出现3黑1白的所有方式，相当于从4个后代中抽取3个后代的组合数 .不论是哪一种方式，出现3黑1白的概率均为 ，因此出现3黑1白的总概率还可以表示为 ，可知4个后代出现3黑1白的概率为 .

（3）同理可以计算出杂合型豚鼠相互交配产生的n个后代中出现r只黑色豚鼠的概率为 ，其中 .

3泊松分布的定义及应用

3.1泊松分布的定义

泊松分布（Poisson分布）是统计与概率学中常见到的一种离散概率分布，是由法国数学家西摩恩·德尼·泊松在1838时发表的.

如果随机变量 的分布列 ， ， ，则称 服从泊松分布，记为 .

3.2泊松分布的应用

泊松分布是一种非常重要的特殊分布，尤其是作为运筹学研究中的一个分布模型经常被应用在各个方面，在生活中服从泊松分布的随机变量很常见，如事故发生的预测，十字路口交通信号灯的设计，工厂生产计划的安排，如何规划物料订单，海港发货船期的调度等等都需要经常用到泊松分布.

例3 在某路口，某辆汽车发生交通事故的概率为 ，假设

在某路段时间内有1000辆汽车通过此路口，求在此时间段内发生事故次数 的概率分布.

解 在此时间段内发生事故次数 的概率分布

在此段时间内发生2次以上事故的概率为

以上我们分别探讨了几种特殊分布的定义及应用，事实上特殊分

布之间也存在着一些极限关系.

极限关系是指当某个参数趋向某值时(通常是 )，一个随机变量的概率函数逼近于另一随机变量的概率函数.换一句话说，就是两个随机变量通过渐近分布这个纽带联系起来了.常见的极限关系有：当 较大时，二项分布可用正态分布逼近；当 较大、 较小且 不大时，二项分布可用泊松分布逼近，泊松分布正是由二项分布推导而来的.

参 考 文 献

[1] 王妍.概率统计在实际问题中的应用举例[J].中国传媒大学学报，2007,14(1):17-18.

[2] 罗春玲.正态分布的性质及应用[J].科技天地,2008:64-65.

1.2021年教育部产学合作协同育人项目，《金课建设背景下工程概率统计深度融合实际问题的教学探索》

2. 2021年教育部产学合作协同育人项目，《基于金课视角下概率论与数理统计课程线上线下混合式教学研究》

3. 2021年度南阳师范学院《概率论与数理统计》本科一流课程。

4. 2019年南阳师范学院课堂教学模式改革项目，“概率统计”课程有效教学研究 项目编号2019-JXYJKT-19。

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