例谈数学审题分析

例谈数学审题分析

蔡素晗

莆田第十中学（福建省莆田市 351146）

摘要：审题分析不同于解题思路。审题是建立正确解题思路的基础。审题是复杂的思维过程．要求学生必须全方位审视试题所提供的信息，并利用数学思想，对信息进行分析、加工、理顺，从而制定解题计划．本文通过实例，对审题过程进行分析，为解题提供正确的导向。

关键词：审题分析 已知条件 待求结论 由因导果 执果因素

审题有别于读题．读题是阅读题目，这只是对试题的感性认识，而审题是复杂的思维过程．要求学生必须全方位审视试题所提供的信息，并利用数学思想，对信息进行分析、加工、理顺，从而制定解题计划．

在试题中，已知条件和待求结论是构成试题的两大要素，它们互相制约，相互依存。其中，已知条件是构成题目的前提，起主导作用，是待求结论的原因．在审已知条件时，应参照待求结论，联想与已知条件相关的性质、定理、公式等；有的条件要译成数学语言，进行必要而合理的设置；有的条件要等价转化，或以形辅数、以数助形；对难度较大的试题，有时还要投石问路，进行必要的恒等变形，以进一步挖掘隐含条件，搜寻已知条件制约下的结论．即所谓由因导果．审待求结论时，要回眸已知条件，联系相关知识，动用各种数学“手段”，对待求结论进行“加工”，为已知条件的演绎提供启示和导向，力求找到结论的原因．限于篇幅，下面略举选择题和填空题为例，谈笔者对审题(含简答)的粗浅看法，难于以偏概全．

例1 在象棋比赛中，每两位选手都赛一场，赢者得2分，输者得O分，和局各得1分．现有四名学生统计全部选手的总分为1980、1981、1984、1985，但其中只有一名学生统计正确，问共有 位选手参加比赛．

审题分析 既要挑错，又要填空，给解答增加了难度．从己知条件看，每两位选手都赛一场，这是与次序无关的组合问题，即甲与乙或乙与甲比赛，只算一场．在计分上，应注意四名学生统计的是总分，要按每场得分计算，因为每赛一场，两人总分之和为2分，与谁胜谁负或平局无关，即2+0和1+1都为2．所以，所有场次的总分=(也即全部选手的总分)是偶数，应排除1981和1985．又如果有n位选手参赛，这样共赛了 场，每场2分，总计n(n—1)分，这是两个连续自然数的相乘积．求n时，首先可通过特值尝试，寻找规律，会得到如下一个重要关系：两个连续自然数相乘积的个位数，相等于两个连续自然数的个位数相乘积的个位数．据此，1980的个位数“0”，可以是两个连续自然数的个位数：4与5、5与6或9与0相乘积的个位数，而1984不具备，应排除．再经估算，连续自然数的十位数应为“4”，则1980可能是44与45或45与46，而不可能是39与4O或49与50的相乘积，经计算，44×45=1980，∴n=45，即共有4 5位选手参加比赛．

审题的焦点在计分方法上，应纵观整体．题意不是计算个人得分而排名次，以决定是否进入下一轮比赛．四名学生统计的是总分，启发按场数计分是上策，况且按个人计分，有奇有偶，没有规律可循，无异于作茧自缚.本题是命题者倒过来拟题的，命题者在明处，答题者在暗处，“难为”了应试的学生．但只要审题时多一些耐心，少一些急躁，毕竟可以摆脱困境，到达待求的目的地．

例2 若点P在抛物线y=3x²+4x+2上，A (-1，-1) 、B (O，-3)使△ABP的面积最小，则P点的坐标是( )

A．( ) B．( ) C．(一1，1)D．(0，2)

审题分析 己知条件较多，应侧重区分“变"与“不变"．在△ABP中，A、B为定点，P是在确定的抛物线上的动点．从待求看，是使△ ABP面积最小时点P的坐标。选“不变”为突破口，在 (底边)为定值时，△ABP面积的最小值等价于点P到AB的距离(高)的最小值．若采用导数法解答，还要进一步等价转化，即点P到AB的距离的最小值等价于：与直线AB平行且与抛物线相切的直线，其切点P距离直线AB最小，这切点正是待求的点．设AB所在直线的斜率为k_AB，易求k_AB=一2，对y求导： =6x+4，令6x+4=一2，解得x=一1，代入y=3 x²+4x+2，求得y=1，∴ P点坐标为(一1，1)．选C．

本题若按参考答案提示，设点P的坐标为(x，3x²+4x+2)，再建立直线AB的方程2x+y+3=O，利用点到直线距离公式，求距离最小值时所对应的x．与导数法相比，运算复杂且易出错．不同的解法来自于不同的审题角度，繁简相差甚远，解答效果常常也大打折扣．

例3 已知函数

（ ）

审题分析 审题的突破点应着眼于“单调函数”和“图象不可能是”上。为叙述方便，设 由于函数f(x)没有指明二次，更增加可探究性。若采用常规方法，从a、b分别为正、负和零出发考察，共有九种不同的配搭方式，再加上还要比对a、b值对于两个函数的图象和条件是否吻合，其分类讨论的复杂性和思考量可想而知。不妨采用正难则反的审题策略——执果索因。则A对应g(x)的a=0,b<0;B对应g(x)的a>0,b>0;C对应g(x)的a>0,b<0;D对应g(x)的a<0,b=0。其中只有B中的a>0,b>0,其f(x)的对称轴在y轴的左方，在

一次函数，在 上仍单调，应排除，故应选B。

通常这类试题是各选择支中，二次函数和一次函数的图象在同一坐标系中出现，讨论二次项、一次项和常数项系数的正、负和零所以符合的图象。而这道题的拟编，不落俗套，本该正确答案是“对号入座”的，而改为“对号不入座”的，平易中见难度，立意考查学生的数学基本能力，也对考生审题提出更高的要求，很具挑战性。

审题分析不同于解题思路。审题是建立正确解题思路的基础。但是审题应花的时间不能少．审题审清楚了，解题思路自然浮出水面，而解题过程仅是实施审题所制定的操作程序而已．当然，审题分析的速度和质量，仍然需要学生要有扎实的基础知识和平时积累的解题经验，才能轻车熟路，游刃有余，才能从试题的条件和结论所提供的蛛丝马迹的信息中，悟出审题分析的真谛．

参考文献：

钱佩玲 中学数学思想方法 北京师范大学出版社

苏 越 教与学中的逻辑艺术 北京师范大学出版社