近世代数教学改革探索

梁方方 1 王恒太 2

1济南西城实验中学 山东济南 250117

²南华大学数理学院 湖南衡阳 421001

摘要：近世代数是高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等专业十分重要的专业基础课和专业必修课，也是数学研究生必学的三大基础课之一。本文结合南华大学的教学特点，结合自身的教学实践，从教学内容、教学方法和与中学生的关系等方面对该课程的教学改革提出一些观点。

引言：法国天才数学家伽罗瓦在研究一元高次方程的根式解时提出“群”概念，后人根据他的思想逐渐发展出环、域等概念，从而使代数学的研究方向转化为研究代数系统的结构。现在这些概念和思想逐渐被本科生、研究生所接受，形成近世代数这门课程。

它是高等代数课程的延续与提高，具有高度的抽象性和概括性，囊括了高等代数中的一些概念和观点[1]。本文就目前南华大学数学与应用数学、信息与计算科学专业近世代数课程课堂教学中存在的问题谈谈教学改革的必要性[2]，并结合济南西城实验中学的教学现状，对高中教学提出一点建议。

本文受到南华大学校级教改项目（202JXJ083）和湖南省优秀研究生科研平台资助。

1. 近世代数教学的抽象性

对于这门课程国内外都有许多经典的教材，比如Hungerford的《Algebra》，Jacobson的《Basic Algebra》、Lang的《Algebra》，冯克勤先生翻译了Hungerford 的《Algebra》，丁石孙、聂灵沼两位先生编写的《代数学引论》[3]，刘绍学先生编写的《近世代数基础》[4]，丘维声先生编写的《近世代数》[5]等，它们都是非常好的教材，均可以作为抽象代数的教学使用。但是这门课具有高度的抽象性，初学者感觉学起来非常吃力。为了克服这一现象，老师在上课的时候一定要和高等代数、几何学结合起来，让抽象的概念和结论在高等代数中找到具体的实例。比如讲群的元素乘积的逆的时候，要和可逆矩阵乘积的逆结合起来做类比。在介绍二面体群的时候，要从三角形、正三角形、矩形、正方形、正五边形（五角星）的对称群逐一研究，将旋转和翻转两种变换用对称群的语言表达出来，深刻体会它们的对称群的“大小”，从而理解“群即是对称”的深刻内涵。总而言之，学习这门课程，一定要在其它学科中找到具体的实例，从来减弱它的抽象性，增加它的直观性。同时，我们在介绍五角星的对称群时，还可以添加思政元素，培养同学们的爱国主义情怀。

2. 教学方法的革新

研究生基础课程的教学不免和本科生教学一样，陷入学生被动接受知识的“填鸭式教学”的怪圈，学生知识被动地承认老师教授的知识，不太愿意在上课时表述自己的观点和想法，听到自己不明白的东西，只会默默记在心里，不会打断教师的讲课进行提问，也不及时跟教师反馈，时间久了就忘记了，推导不过去的地方依旧存在，这样就使教学效果大打折扣。为此，我们在讲课过程中采取建立学习小组的制度，就是将班级同学分成几个小组，老师每讲完一个知识点后留有思考题，让每个小组讨论，然后和老师进行互动，培养学生合作科研的能力。在教学过程中不断抛出问题，启发学生思考，培养学生的发散性思维，并引导学生到正确的科研道路上来。

三、和中学生的联系

中学生都学过尺规作图问题，我们能用没有刻度也不能做记号的直尺二等分一个角，很自然地问能否三等分一个角呢？这个问题在中学阶段是解决不了的，但是我们学习了伽罗瓦理论以后，老师应该培养同学们普及数学知识的能力，如何将抽象的近世代数知识细细分解，让中学生也能听懂，培养中学生逻辑思维能力，感受天才数学家伽罗华的传奇人生经历和深邃的数学思想，这将是我们研究生培养的目标之一。

参考文献

[1] 刘守民，拔尖计划中抽象代数教学的探索与实践, 产业与科技论坛. 2020,19(01),187-190.

[2] 桑彩丽，近世代数教学改革的实践与探索, 牡丹江教育学院学报. 2020,(01)，67-69.

[3] 丁石孙，聂灵沼．代数学引论［M］．北京:高等教育出版

社，2000

［4］刘绍学，近世代数基础(第二版)［M］．北京:高等教育出版社，2012

［5］丘维声，近世代数［M］．北京:北京大学出版社，2015