对一类含绝对值函数最值问题的探究

对一类含绝对值函数最值问题的探究

胡汉军 张茂

电子科技大学实验中学 611731

摘要：研究形如 的一类含绝对值函数性质，需要学生很强的直观想象与逻辑推理能力。特别是此类函数的最值问题，对学生思维的缜密度和创新意识要求非常高。本文拟对形如 一类函数最值问题进行探究,帮助学生开拓解题思路,加深数学理解，形成理性思维。

关键词：最大值中的最小值 纵向距离 平口单峰

正文：

1.问题的提出

形如 一类含绝对值函数的最值问题，是高中阶段较为常见的一类问题，其数学特征明显，但综合性非常强。

解决绝对值相关问题主要有两个思路：一是代数化简，另一是几何直观。本文试从这两个思路进行探究，最终形成解决这类问题的一般方法。

引例1：已知函数 ,若对于 ,使得 求实数 的取值范围。

2.对问题的理解

按问题所给条件，只需满足 ，因为M要受到参变量 的影响，不妨设 ，因为a,b的任意性，显然须满足 的最小值都要大于或等于 .

综上分析，问题的本质是求函数 的最大值的最小值。

3.解法探究

思路1：研究绝对值问题的基本思路就是分类讨论，本例中需要考虑抛物线 的对称轴不同位置，对函数 的最大值的影响。

解法1：

①当 ，即 ，此时函数 在 上单调，

则有 ,所以

②当 ，此时函数 在 上满足： ,

则有 ,所以 .

③当 ，此时函数 在 上满足：

,

则有 ,所以 .

综上：当且仅当 ,即 时，函数 的最大值的最小值为 ，所以 .

思路2：对于函数 ，我们可以理解为函数 在 上的函数值的偏差值的绝对值，也可以说是这两个函数图像在 上的纵向距离（或铅垂距离）。引例1所求问题本质是求这两个函数图像在 时的纵向距离最大值的最小值。为了帮助同学的理解，我们可以先思考一个折筷子的实验：一根固定长度的筷子，从其中何处折断，才能使较长一段的的长度最短？

显 然从筷子中间折断，能够使较长一段最短,且最短长度就是筷子的一半。把这个实验迁移到本题，那么函数 在 上的图像应该如图所示：

解法2：

当直线 如图所示时，抛物线 上的点到直线的最大距离最小。

即 。

。

4.发现与归纳

对于解法1，很大程度上是要依赖于函数 的特殊性，通过函数的单调性，对最大值进行分类整理，比较。如果函数的单调性在所求区间内再复杂些，那么分类亦会随之复杂，计算量也会大大增加。

对于解法2，我们容易得到：即使函数 单调性复杂化，函数 的几何意义是不变的，所以对其解题思路的影响是不大的。下面我们着重探究思路2.

引 例2：已知函数 | -ax-b|,若对于 ,使得

解法1：令

令 即

所以

则函数

所以

所以 ，当 时，“=”号成立。

不难发现：问题得以解决的关键是找到函数在所给区间上的最大值和最小值，从图像上看就是找到两条平行于 轴的直线分别过曲线的最高点和最低点，然后求出两平行线中间的一条平行直线。

如果我们把曲线倾斜，两条平行直线依然可以找到，求出两平行线中间的那条平行直线，问题依然能够解决。其实中间这条直线就是我们常说的切比雪夫最佳逼近直线。

解法2： | -ax-b|可以看成是横坐标相同时，函数 的图像与直线 的纵向距离（或铅垂距离）。如图：

记A（1,2），B（2，1），连接AB，则直线AB方程 为： .

作 平行于直线AB，且与曲线 相切于点C（m,n）的直线 .

,则有 ,

所以m= ，n= .

所以直线 的方程为： .

所以

所以

我们容易看出函数 的单调性无论怎么复杂，只要若存在过 使得 恒成立，能够满足要求的直线依然是他们中间的那条直线。

综上探究，我们可以得出结论：

4.1.若函数 是 上的连续不断的平口单峰函数（给定区间内只有一个极值点（单峰），且 ),设 为极值点，则当a,b变化时， 的最大值的最小值恒为 ，当且仅当 时取得。

4.2.已知函数 在区间 上的连续，若存在过 使得 恒成立，记 上的最大值为 ,则 。

5.结论应用

例1已知存在 ,对任意 ，使得 恒成立，则 的最大值为 。

解：由 ，令 ，即求 的最大值的最小值。令 ，因为 ，显然是平口单峰函数。

由 结论4.1易得

例2已知函数 ，若对于任意实数 ，总存在实数 ,使得 成立。则 .

解：如图，在区间 上,曲线 上点 ，故直线AO的方程为： ，平行于直线AO作曲线的切线 ，设切点为 .

则有 ，故 .

所以切线 的方程为： 。

由结论4.2知：直线 = 时使得 。故 ，所以 .

例3.已知函数 求证： 在区间 上的最大值不小于 .

解法1：求出两条平行线，利用结论4.2解题。

如图过点A 作 的切线 ，切点为 ，向上作平行线 ，使之与

相切于点B。

设 ，所以 的方程为 ，又 过点A ，所以 或 .

故 的方程为： ，同理 的方程为 。

由结论4.2易得

，当且仅当 时取等号。

解法2：构造“平口单峰”，利用结论4.1解题。

令 极值点 .

于 是得 ，

，解得

所以有： ，因为 的极大值点为 ，极小值点为 ，且 。

于是有，当 变化时， 的最大值的最小值为 。问题得证。

参考文献

[1]刘美良.新高考数学为专题50讲（上册）.浙江科学技术出版社2020年11月第一版

作者简介：胡汉军（1973-12），男，现工作于电子科技大学实验中学高中部，中学高级教师。研究方向：高中数学教学。

張茂（1973-6），男，现工作于电子科技大学实验中学高中部，中学高级教师。研究方向：高中数学教学