“函数概念的理解”解题教学课例

“函数概念的理解” 解题教学课例

贾士伟

贵州省凯里市第一中学 556000 贵州凯里

摘要：本文是《函数概念的理解》习题课的教学设计，通过一题多问、一题多变，减少问题的背景，提升课堂容量，揭示问题本质。在这堂课的教学中，学生能够掌握具体函数的定义域怎么求，抽象函数的定义域怎么求，以及这样求解的原因，同时渗透了函数作图，图像平移，复合函数解析式的求解等相关知识，让学生体会到知识之间的相互贯通、交融！

关键词：函数的概念、解题教学、课例分析

一、 教学设计

（一） 知识要点

函数值的计算、函数定义域的求法。

（二） 学习背景

1．教材分析

对于高一新生来说，函数是一个难点，抽象性很强。在第一课时已经解决了为什么要重新学习函数，用集合和对应的语言从函数实例中抽象概括出函数的概念，知道了定义域、函数值、值域的意义，区间的表示。在后续学习中，我们以函数的三要素出发，研究函数的定义域、值域怎么求，函数的解析式怎么求，怎么作图等，每种题型方法多，对于初学者难度较大。因此必须把握这些“散乱”知识的联系，从定义和概念出发，研究解题的逻辑依据，让学生在解题中“有理可据”。第二课时的主要任务是让学生会求具体函数和抽象函数的定义域，这是这节课的重心，重点和难点，让学生必须学会函数值的求解，这一知识点较为容易，同时在课堂中渗透函数图像、函数值域、复合函数解析式的求法，为后续学习做铺垫。

2．学情分析

所教授班级的学生是重点学校的平行班级，学生有一定的数学基础、理解能力，但是作为新知识，学生自主理解抽象函数定义域的求法还是很困难，需要教师由浅入深、精心地进行教学设计，在巩固旧知的同时，学习新知，渗透新知。

3．核心问题

函数定义域的求法。

（三） 学习目标

1．核心素养目标

由具体函数到抽象函数，研究定义域的求法，培养学生抽象概括能力，培养学生严谨的数学思维，严格的逻辑推理能力。

2．长见识悟道理

通过一题多问、一题多变，让学生在学习知识的同时，认清问题的本质，研究解题依据，体会知识之间的联系。

（四）设计思路

先通过一个具体函数 ，研究其定义域，巩固二次不等式的解法，总结一般具体函数定义域的求法；研究函数值的求法，思考函数的大致图像，渗透特殊到一般的数学思想，培养直观猜想能力；研究 的表达式、定义域，体会函数之间的联系，渗透平移思想，发展学生数学抽象能力。接着去掉函数 的表达式，学习抽象函数值域的求法，让学生理解知识之间的联系，理解解题依据。

二、教学过程

（一）课前提问

1、函数是一种特殊的对应，什么样的对应能够成为函数？

预设学生回答：①对应 建立在非空数集 之间；②在对应 下，集合 中的任意一个数 ，在集合 中有唯一的数 与之对应。

2、什么是函数的定义域、函数值、值域？值域与集合 有怎样的关系？

3、函数的三要素是什么？怎么判断两个函数是否相同？

（二）一题多问

例1：已知函数 .

问题（1）： 的定义域是什么？你是怎么求的？以后求具体函数的定义域要从哪些角度考虑？

预设学生回答： 的定义域是 ，要保证 有意义，必须满足 ，利用一元二次不等式的知识求出 的范围即可。碰到具体函数的定义时，我们要关注根式、分母等，让函数中出现的式子有意义即可。

【设计意图】巩固一元二次不等式的解法，会用区间表示函数的定义域，知道具体函数定义域的求法。

问题（2）：怎么求 ？你能利用这些函数值以及函数 的图像作出函数 的图像吗？你能根据图像写出函数 的值域吗？

【设计意图】让学生知道函数值的求法，感知函数横、纵坐标的联系，培养学生直观感知能力，渗透求值域的一种方法——图像法。

问题（3）： 什么时候有意义？有意义时如何求解？ 与 有什么区别？

预设学生回答：当 时， 有意义。类似求具体函数值的方法，将 去替换函数 中的 即可得到 。 表示一个具体的函数值，而 表示一个函数。

【设计意图】由具体函数值的求法，提高到抽象函数值的求法，为抽象函数定义域的理解、求法做铺垫。

问题（4）： 什么时候有意义？有意义时如何求解？

预设学生回答：当 ，即 时， 有意义。类似求具体函数值的方法，将 去替换函数 中的 即可得到 。

【设计意图】牵线搭桥、由浅入深。

问题（5）：设 ，你会求函数 的表达式吗？函数 与函数 有什么关系呢？你能直接根据关系式 求出 的定义域吗？你能作出函数 的图像吗？它和 的图像有什么关系呢？

预设学生回答： 。函数 与函数 对应关系不同，是两个不同的函数。由于 ，∴ ，即 的定义域是 。将 图像上的所有点整体向右平移一个单位得到函数 的图像。

【设计意图】让学生知道判断函数相同的依据，初步体会抽象函数定义域的求法，初步体会函数的平移变换。

问题（6）：若我们知道 ，你能求出 的表达式吗？

【设计意图】这个问题留作课后思考，为学习换元法（拼凑法）求函数解析式做铺垫，培养学生逆向思维。

（三）一题多变

例2：已知函数 的定义域是 ，如何求函数 的定义域？

预设学生回答：由于 ，∴ ，即 的定义域是 。

【设计意图】有了例1的铺垫，学生很容易理解函数 定义域的求解。

变式1：已知函数 的定义域是 ，如何求函数 的定义域？

【设计意图】逆向思维，逐步加深。让学生体会下面这两句话：在同一法则下，位置一样，范围一样；定义域始终指的是 的取值范围。

变式2：已知函数 的定义域是 ，如何求函数 的定义域？

预设学生回答：先根据“函数 的定义域是 ”求出函数 的定义域为 ，再利用“位置一样，范围一样”得到 ，解得 ，即函数 的定义域是 。

【设计意图】逐步加深，培养学生数学抽象核心素养。

（四）课堂小结与作业步骤

师：哪位同学能够说说这堂课的收获？

【设计意图】这一堂课的例题只有两道，但是延伸出来的问题和变式多，涉及的知识和方法也很多，很有必要让学生“清点”知识，总结方法，加深记忆和理解。

三、教学反思

通过一题多问、一题多变，减少问题的背景，提升课堂容量，揭示问题本质。在这堂课的教学中，学生能够掌握具体函数的定义域怎么求，抽象函数的定义域怎么求，以及这样求解的原因，同时渗透了函数作图，图像平移，复合函数解析式的求解等相关知识，让学生体会到知识之间的相互贯通、交融！

参考文献：

[1]申亚玲.一题多解，一题多变[J].数学教学与研究，2014年第59期

[2]刘建明.论一题多解与多题一解，科教导刊（电子版）.2017年第36期

作者简介；贾士伟，男，四川邻水人，1985年7月出生，大学本科学历，任教于贵州省凯里市第一中学，中学副高级教师，研究方向为高中数学教育教学)