关于一个几何题一题多解的思考

关于一个几何题一题多解的思考

江雪莲

重庆市第一中学

摘要：近年来，重庆市中考数学试卷最后一个大题是一道几何综合题，大部分学生上考场前几乎都对该类型题目有恐惧感，生怕自己拿不到理想的分数，甚至平时遇到几何综合类型题目也是无从下手。实际上，几何综合题目并没有想象中可怕，我们可以把一道复杂的题目拆分成若干个小题目，依靠平时积累的分析思路、几何模型和解题策略，见招拆招各个击破。本文以重庆市某直属某次大型考试中压轴几何大题为具体例题，对具体的方法应用进行了探究，希望能够帮助我们突破中考压轴题几何的解题困境。

关键词：几何题；模型；方法；

近 几年重庆中考都以几何题为压轴大题，是考察学生基本知识、基本模型、分析策略、解题思路的一类题型。下面以重庆市直属校2022年某次大型考试题中的压轴题最后一题第（2）小问为例，谈一谈我们可以如何突破几何这个纸老虎。原题如下：

如图1，在△ABC中，AB=AC，D是边AC上一点，

F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且

AE⊥CF．若E为BD中点，连接FD，FD平分∠AFC，G

为CF上一点，且∠GDC=∠GCD，求证：DG+AF=FC；

分析：几何综合题目中往往会提供一些重要的条件或者有价值的结论，通过其联想常规结论，常规辅助线，对进一步解决问题起到很好的辅助作用。而通常分析几何题可以从两个方向出发：①从条件出发；②从结论出发。比如本题，我们从结论DG+AF=FC出发，不难联想几何中解决问题的常用方法截长补短，从条件∠GDC=∠GCD出发，我们很容易得出DG=CG，与结论一结合，则该题不需要用截长补短的方式额外添加辅助线，即要证结论DG+AF=FC可等价的转换成证AF=FG。再结合条件FD平分∠AFC，与转换后的结论一结合，则要证到结论成立，只需要证明 ，这一组全等属于翻折全等模型，已经具备一组公共边和一组相等的角，因此要证明全等，只需要证一组角或者挨着已知相等角的另一组边相等，经过分析，很容易发现只能够证明剩下两组角中的某一组对应角相等，最后问题即转换为证 。到目前，我们还有三个条件AB=AC、AE⊥CF、E为BD中点还没有使用。其中条件E为BD中点，在平时的学习中我们总结了关于它的很多模型和方法，基于此，对于该题，我们产生了不同的方法。

方法1：中点——倍长中线

当 题目中出现中点时，我们往往首先会联想倍长中线。通常倍长中线添加辅助线的方式有三种，如图所示：①直接倍长经过中点的线段，创造8字形全等；②延长相交，创造8字形全等；③做平行线，创造8字形全等。

结合本题背景，首选①的倍长中线的方法创造8字形全等。通过对图形分析，发现经过中点E的线段有4条，分别是AE、EF、EG、EC，而判断一个倍长中线是否有效的关键，在于这一个倍长中线是否转换了和条件有关的边或角或和结论有关的边或角。不难发现，倍长经过中点的线段AE、EG可以创造8字形全等转换已知线段AB、DG，如图2、图3。因此，在选择倍长中线方向时，优先选择这两种添加辅助线方式。

如图2， ，即有AB=DH， 。结合条件AE⊥CF和倍长中线带来的结论AE=EH，连接CH，利用中垂线的性质，容易得CH=CA=AB=HD，所以 是等腰三角形，即 。再利用等腰三角形三线合一的性质，得 。又因为 ，所以 ，所以 ，结论得证。

如图3， ，即有HE=EH，HB=DG=GC， 。结合条件AE⊥CF和倍长中线带来的结论GE=EH，连接AH、AG，利用中垂线的性质，容易得AH=AG，再利用等腰三角形三线合一的性质，得 。在 中，三条边分别对应相等，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，结论得证。

方法2：中点——中位线

当 题目中出现中点时，我们也经常会联想中位线。通常中位线添加辅助线的方式有四种，如图所示：①连接三角形两条边中点，AB是三角形的中位线；②创造线段使A点是线段中点，且该线段和B点所在的线段在同一个三角形中，AB是三角形的中位线；③创造线段使B点是线段中点，且该线段和A点所在的线段在同一个三角形中，AB是三角形的中位线；④利用一个中点倍长中线，使得A、B两点是同一个三角形两边的中点，AB是三角形的中位线；

结合条件AB=AC、E为BD中点，想让点E所在的线段是中位线，则还差一个中点，因为AB=AC，所以很容易根据等腰三角形的三线合一作底边BC中点H，底边BC的中点H和BD的中点E刚好是同一个三角形两条边的中点，连接EH即可构造中位线，如图4.

如 图4，因为AB=AC，点H是BC中点，所以BH=HC，

。结合条件AE⊥CF，则

1. E、H、C四点共圆，所以 。又因

为EH是中位线，所以EH//AC，所以 ，

所以 ，

所以 ，所以 ，

所以 ，结论得证。

至此，我们就把这道题目的分析策略和解题思路梳理清楚了。实际上，对于几何综合题目，平时积累的几何模型和几何方法至关重要。以此题为例，在证明DG+AF=FC，我们首先想到可以证明线段和差的相关知识，截长或补短，及截长补短不同添加辅助线的方法。在利用条件AB=AC，我们想到等腰三角形的定义和基本性质三线合一。在看到条件E为BD中点时，我们联想到中点常用的添加辅助线的方法倍长中线和中位线。我们从图形出发，多角度分析，最终得证。不难发现，这些知识分散在初中几何的各个章节，如果平时学习的时候多总结，勤思考（基本知识、基本模型、分析策略、解题思路），并且学会把每个条件和结论单独拆分出来，变成若干小题和小知识点，我们一定能够充满信心地挑战几何综合题。

参考文献：

1. 高峰，王丹妮.一题多解，多角度分析几何综合问题.中学生数学，2021年12月下.

2. 戴颖.用联想之法，破思考之困.中小学数学，2021年9月中旬.

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