基于学生认知的数学概念课教学—以《周长的认识》

基于学生认知的数学概念课教学—以《周长的认识》

为例

曹清雅

浙江省杭州橄榄树学校  311100

【摘要】数学概念是构建数学理论大厦的基石，也是数学学科的灵魂和精髓。学生在认识概念本质属性的过程中，经历观察、辨析、抽象、归纳等数学思维活动，发展能力，感悟数学思想方法。本文结合《周长的认识》这一概念课的教学与思考，浅谈概念课的设计与实施。

【关键词】数学概念；学生认知；教学实践

课前思考

《周长的认识》是人教版小学数学三年级上册第七单元的第三课时，是“图形与几何”领域重要的概念课。学生在前期已经认识了长方形、正方形、三角形、圆形等基本图形，也对长度有了较深的认识和测量体验。三年级学生以具体形象思维为主，对周长虽有模糊的认识，但是没有系统的知识体系，同时逻辑思维语言表达不够完整和科学。学生基本能分辨封闭图形和不封闭图形，也能明白一周的意思。笔者在对学生进行访谈和前测中发现学生对周长概念的理解主要有以下三个误区：

1.对不封闭图形是否有周长不明确（周长概念本质的理解）；

2.图形的边线就是图形的周长，如五角星（一周的理解）；

3.认为面越大，周长越长（面积干扰）。

设计实施

    在研究了不同版本的教材和尊重教材与学情的基础上，本节课的教学主要分为三个板块。

一、概念生成，直指本质

周长概念的出示有多种方法，常见的如直接揭题唤起学生经验、生活中的周长引入（常见的跑步情境）、体验周长的测量感知周长等。概念的生成如何更自然，更符合学生认知呢？

“周”是前提，“长”是本质。基于学生认知，“周长”有两点不同：

1. 从长度到周长，长度是起点到终点，点与点之间断开，而周长是起点与终点连接，起点出发又回到终点；

2.长度从一条线段的长过渡到多条线段的长度之和。

学生需要感受周长是长度家族里一位特殊的成员，体验长度与周长之间的“连系”与“变化”，在新旧知辨析中生成概念。

因此在教学时，笔者设计了三次描长度的教学活动，让周长概念自然而生。

（一）一描长度——感受周长是一种特殊的长度

课前笔者就给每位学生发了扭扭棒（线段），自由创造图形。从估一估扭扭棒有多长，怎么测量扭扭棒的长度，唤起学生旧知，“我们可以把扭扭棒看成一条线段，从起点到终点的长度是30cm”。

从线段到图形（出示学生用扭扭棒创造的图形：角、M形、圆形、长方形、三角形），以三角形为例，如何测量它的长度呢？在比划和示范中，学生明确描出三角形的长度要“终点和起点重合，正好一周”。

学生在动手操作和思考的过程中，感受到图形的长度和线段的长度有一些不同，这是概念生长的起点。

（二）二描长度——感受周长的产生

    学生描出角、M形、圆形、长方形的长度，并把起点和终点标注出来。学生经历描一描、标一标、分一分、说一说的活动，围绕“怎么分类？为什么这么分？”思考和解决问题，将图形的长度分为两类，一类为起点和终点分开，一类为起点和终点重合。在体验活动中，学生对周长的认识从“感性”到“定性”。

（三）三描长度——用具体数据刻画周长（第一次定量）

在学生体验之后，教师小结“刚才我们描过的线都是扭扭棒的长度，都是30cm，但是这两个图形（指着圆形和长方形）它们的起点和终点在一起，形成了一周，它的长度叫做周长”。随后，学生挑一个图形来感受30cm的周长，由“定性刻画”到“定量刻画”。同时在刻画周长时，学生感受到一周上任意一个点都可以做起点。

再用反例（M和角）强化学生对周长的认识。“这两个图形（M和角）有没有周长？”“没有，因为它们的起点和终点没有重合。”“那谁来变一变，让它有周长？”学生通过让起点和终点重合，形成封闭图形，让原本没有周长的图形改造成了有周长的封闭图形。

至此，周长概念初步建立，从“长度”到“一周的长度”再到“封闭图形一周的长度”，层层推进。

二、建构特征，定量刻画

学生已经初步感知周长，并带着数学的眼光在生活中寻找周长，比如画框的长度、腰围等。第一板块在操作测量中进一步认识周长。看似简单易操作的教学内容，确是教学中最不好把握，也是笔者在实践中做了最多减法的一个板块。

初次试教时，图形数量很多（9个），笔者既想让学生知道封闭图形中包括直边图形和曲边图形，又期待学生在大量体验之后感受直边图形好测量，曲边图形不好测量需要想其他办法。同时，笔者还引导学生先观察图形特征再去测量，正方形只需测一条边，长方形只需测两条边。

结果，学生应接不暇，忙于测出结果，反而没有聚焦于测量方法和周长特征。更多笔墨放在 “认识图形”上，教学中心有所偏移。教师想要达成的目标越多，最后只能流于表面，蜻蜓点水。

几经实践和调整，笔者优化了教学目标，也减少了教师过多的引导。在教学中做了一些减法后，重点更突出，概念本质也越凸显。研究几个基本图形的周长（正方形、长方形、三角形和圆），量几次也不再刻意优化，因为这对建立周长概念没有太大帮助，更重要的是让学生感受周长是几条边的长度之和。

教学时，学生经历描一描——测一测——说一说的体验活动，在操作中建构周长的特征。在一个看似简单的探究活动中，既有面与周长的辨析，又有测量方法的选择，在讨论、交流的过程中，学生逐渐深入认识周长。

正方形：周长辨析（9cm还是12cm），关注一周的长度

长方形和三角形：它们的周长就是几条边的长度之和

圆形：化曲为直的测量方法（联系前面生活中的周长“量腰围”）

                      数一数

小结：测量方法    量一量

                       变一变（曲→直）

三、辨析思考，深度学习

定量，在比较中才能凸显意义。所有的“量”，都要转化为学生认知体系中的理解。第三板块是在一二板块上的强化，增加了思维含量，加深对概念的理解与应用。

三组周长研究材料，学生在辨析与思考中再次感受周长关注的是长度，突破“面积”的干扰，关注周长本质属性。这里笔者通过动画演示，强化了“一一对应”的方法，学生可能会讲到移一移和翻过来的方法，这都是一种比较和转化的手段，但究其本质是“一一对应”。比较方法的渗透（数一数、对一对），既进一步调用周长概念，又使学生能灵活运用于解决问题。学生在探究中发散思维，自己尝试去创造和展示。

    比较方法渗透后，学生能够“透过表面看本质”，关注到“长度”，于是在创造环节，除了有“大小一样，周长一样”的作品，学生还突破了思维定势，发现“其实只要连接对角两个顶点，中间随便怎么画都可以。因为中间画的都是两个图形的公共边”。

课后思考

概念教学，是每位老师都需要面对的基本又重要的课题。而课上，我们常常会牺牲学生对数学概念的理解，片面追求孤立的知识点和掌握脱离现实情境的技能，这样会使学生对学习内容的理解非常浅薄。

对于概念教学，我们希望学生理解什么？我们又应该怎么做呢？

一、挖掘概念本质

在概念课教学时，把握好概念本质，经历概念的生成尤为重要。

平均数，是生活中应用广泛的概念，学生往往不难知道平均数的用途与方法，但知道方法和应用就是知道平均数的概念了吗？我们习惯于在应用与计算中学习概念，而这样的概念学习往往是知其然不知其所以然的。学生容易将平均数看成平均分，实际上是还没有理解“平均数是代表一组数的整体水平的虚拟数”。正确的学习应该是先从学生的生活中去寻找关于平均数的前概念—从前概念中生长出平均数的概念—从平均数的概念中生长出平均数的求得方法—从平均数的概念中生长出问题解决的应用。

    又如五年级《方程的意义》，含有未知数的等式，是方程。这句话对学生来说不难理解，学生辨认哪些式子是方程时也没有太大困难。然而这就是方程的本质了吗？如果我们只在表象上让学生认识方程，那在后面的解方程、列方程时将会举步维艰，学生会觉得方程对解决问题没有什么帮助。因此，《方程的意义》一课还得回归到方程概念的本质上来，方程的核心价值是为了寻求未知数，表达的是一种关系，“等式”只是它的特征。我们是借助等量关系找到了我们需要的未知数。如果我们在一开始认识方程时，就借助天平模型，识别、表征和构建等量关系，那才能促进学生对方程的认识，也能让学生更好得理解等量关系，为他们应用方程解决问题打好基础。

概念教学，不要流于表象上的认识，也不要追求应用和计算的达成，而要深挖概念的本质属性，为理解而教。

二、基于学生认知

学生不是以一张白纸的姿态进入学习的。在他们的经验中，有我们所要学习的知识所对应的丰富的经验。如果我们能将这些经验加以利用和改造，就能事半功倍，加深学生对概念的理解。

“周长”的认识，“一周”学生是明白的，“封闭”也是不难理解的，因此不需要反复再在此处花时间，应该将力气花在从长度到周长变化的过程中，让概念从学生的经验中生长。

再比如，“面积”的认识，我们来看一下这两种教学组织方式：

虽然这两种教学设计最终想要达成的目标是一致的，但是很明显两者在教学的起点上是不同的。一种只考虑了教材的序，而另一个则体现了学科逻辑与学生经验的对接，并从学生的生活出发组织教学。尊重学生的生活经验，能让学生体会学习与生活的密切联系，学生在学习后也一定会以数学的眼光去观察生活中的事物，在生活中的经验和学习又会进一步加深他们对概念的理解。

三、注重学生体验

小学阶段的概念一般没有确切的定义，更多的是基于经验的感悟，这就更加需要学生在体验中不断丰富对概念的认识。学生很难在单一的活动中发展对概念的理解，只有多样的学习活动，多感官参与，才能加深他们的印象。

    比如二年级《角的初步认识》，对于角，学生的生活经验是“墙角、桌角、牛角、1角钱”等，即便学生觉得图形中有角，也很难抽象出数学中的“角”。因此对角的认识需要不断反复抽象后才能逐步建立，而学生的体验活动就是建立概念的支架。在教学时，我们可以从常见的建筑入手（如校园建筑），让孩子找找里面认识的图形，从而出示“角”，建立了“建筑中有角”这样的意识后，再带着这样的意识自己去建筑图中找角。随后，经历指一指（哪里有角）、说一说（角有什么特征）、画一画（怎么画角）、数一数（常见的图形中有几个角）、比一比（角怎么比较大小）等丰富的活动逐步加深对角的认识。

科学技术的发展使教学越来越便利，学生的很多体验我们甚至可以用技术辅助达成。笔者当时在思考“周长的认识”时，也在想要不要做一个动画，把圆拉直的过程、甚至几个基本图形周长拉直的过程都表示出来。但后来细想，图形几何领域很重要的一点就是“想象”，想象也是学生一种无形的体验，是否留一些想象的空间给学生，让他们自己在脑海中完成化曲为直的过程对学生来说更有益呢？

学生的体验既有看得见的操作，也有看不见的思维，在教学时，依据具体的内容和学生的实际情况，选择和设计合适的体验活动，使学生对概念的理解更加多维和深入。

【参考文献】

俞正强.种子课——一个数学特级教师的行与思[M].北京：教育科学出版社，2013.

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