高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题

高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题

钱敏

深圳市光明中学 518007   

分组分配问题是高中数学排列组合学习中的常见问题,是学习重点也是难点，本文就排列组合中具体的分组分配问题进行归类，浅析求解方法。 

一、明确分组、分配问题的含义

将n个不同元素依据条件分成m组(或是m堆)是分组问题，辨别的关键要点是任意交换一种分组的两个组员，结果是同一种情况，组和组的地位之间没有区别;分组问题有平均分组、部分平均分组和不平均分组三种情况。将n个不同元素依据条件分给m个不同对象(或是去处)，称为分配问题，分配问题又分为定向分配和不定向分配两种问题；分组问题和分配问题是有区别的，前者在分好组后，任意交换两个组员，结果是同一种情况，后者因为去向不同，交换成员后是算不同的情况，可区分的,对于后者常常先分组后排列。

二、不同元素的分组、分配问题

（一）平均分组、分配问题

 例1  六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）分为三组，每组两本. 

（2）分给三个人,每人两本.

（3）甲两本、乙两本、丙两本.

【分析】(1)分组与顺序无关，是组合问题。分法是=15(种),为什么要除以？我们不妨把六本不同的书设为a,b,c,d,e,f六个号码，由分步乘法计数原理可以找出两种具体的分法为：(a，b) (c，d) (e，f)与(a，b) (e，f) (c，d)，实际这两种分法是同一种分法，只是后面两组出现的先后有区别，但是分好组后最终的结果是同一种结果。 究其原因实际上是在运用分步乘法计数原理的时候加入先后顺序，也就是相当于三个组员间排列了。因此还应取消三个组员间排列的顺序，即除以 三个组员的全排列数，所以最终的分组方法数为 =15(种)。 

（2）此组题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)，

（3）由于分配给三人，每人分2本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步乘法计数原理得出：有=90(种)，

（二）部分的平均分组、分配问题

例2   六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）分为三组，一组四本，另外两组各一本.

（2）分给三个人,一人四本、另两人各一本.

（3）甲四本、乙一本、丙一本.

【分析】（1）是分组问题，分组方法是=15(种)，为什么要除以？跟例题1的一样，其中两组本数都是一本，由分步乘法计数原理的时候这两组有了一先一后挑选的顺序，也就是相当于这两本书在第二次和第三次分到组里去的过程中排列了，所以要除以这两个成员间的排列数，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复,所以最终分法是=15(种)。

（2）此组题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，=90(种)。

（3）由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步乘法计数原理有=30(种)。

（三）全部都不平均分组、分配问题

例3   六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）一组一本，一组二本，一组三本.

（2）分给三个人,一人一本、一人两本、一人三本.

（3）甲一本、乙两本、丙三本.

【分析】（1）是分组问题，分组方法是=60(种)，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现重复问题，所以共有=60(种) 分法。

(2) 此组题属于分配中的不定向分配问题，是排列问题，相当于在第一问的基础上，再把三组不同书分给三个不同的去处，所以总共有=360(种)

（3）由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，相当于在第一问的基础上把分组分好的结果，固定给到对应的人，只有一种分法，所以由分步乘法计数原理有=60(种)。

通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组分配问题的一般方法。

结论1：（1）一般地，把n个不同的元素平均分成m组，每组个元素，那么分组方法为种。

（2）把n个不同的元素分成p组，各组内元素数的个数分别为m，m，…，m，其中有k组内元素个数相等，是平均分的，那么分组方法数是种。

（3）把n个不同的元素分成k组，各组内元素数的个数分别为m，m，…，m，各组内的元素个数都不相等，那么分组方法数是种。

结论2：一般地，如果把不同的元素的分配到几个不同的去处（对象），那么一般都是先分组后排列，即分组的组数乘以不同去处（对象）的全排列数。

三、相同元素的分组、分配问题

例4  将4个相同的小球装入3不同的盒子，要求每个盒子都有球，有多少种装球方案？

【分析】因为4个小球是相同的，要放入3个不同的去处，每个盒子不空，实际上就是把4个相同元素分成三份，每份对应去不同的盒子，常用插入隔板法，即四个小球中间有3个空，由于要分成三份，所以需要两块隔板，这样在三个空中选两个空放入两个隔板，两块隔板每插入完一次,就把四个球分成三份，每份对应一种装球的方案，纸质转化为组合问题,所以共有

种。

相同元素的分组分配问题需要我们从实际问题中抽象出它的实质，进而用插入隔板法解决，下面用例题来说明。

例5将8个获奖指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法

【分析】因为8个获奖指标是相同的，分给5个不同的去处，可以用插入隔板法，即8个指标中有7个空，由于要分成5份，所以需要4块隔板，这样就在7个空中选4个空放入4块隔板，4块隔板每插入完一次，就对应一种分配方法，实质转化为组合问题，即共有种方法。

总之，掌握上述两个结论，并且不断把不同的实际问题抽象出它的实质，会发现不少问题是可以用分组分配问题来解决的，能发现是相同元素还是不同元素的分组或是分配问题，这类问题就可以迎刃而解了。