分类讨论思想在二次函数综合应用

分类讨论思想在二次函数综合应用

肖毅

  湖南省衡阳县大安乡大安中学 湖南 衡阳  421299

摘要：函数作为贯穿于初中及高中数学的重要知识，同时也有助于培养学生的逻辑思维能力。从实质上讲数学就是用逻辑推理的方法构成的命题系统，运用逻辑思维抽象概括的过程也是寻找变量之间的变化规律的过程。初中阶段的函数概念作为学生第一次接触到函数概念，教师应该根据这部分知识的特点，帮助学生认识到函数可以更好地帮助学生探索具体问题中的数量关系和变化规律。

关键词：分类讨论；二次函数；综合应用

引言：函数是初中学习过程中的重点，也是难点，初中函数和以后高中大学所接触到的其他知识点都有着很大的联系和关系，所以学好初中数学对于学生初中阶段和以后的发展都有着不可忽视的重要意义，但是目前初中生对于数学的学习心里面多多少少有些抵触心理，因此通过分类讨论思想的培养，可以帮助学生更好的应用二次函数、理解二次函数。

一、二次函数分类讨论情况

（一）系数问题

二次函数相关应用问题当中常常会涉及到增减的问题，增减问题是和系数息息相关的，通过系数判断函数的增减是中考以及日常单元学习中的一个重点内容。比如说函数y＝ax2－2x在（－∞，1）单调递减，求a的取值范围，因为题意当中的函数是二次函数，同时没有表明a≠0，所以要针对系数进行分类讨论，探讨a=0，以及a>0的情况。

（二）对称轴和区间

对称轴和区间产生的分类讨论情况往往是因为在区间内不确定是否单调递增或单调递减，也不确定在区间内的最小值是否就是函数的最小值，因此就需要进行分类讨论。比如函数g(x)=x2－ax+3在区间[－1，1]上有最小值，求最小值表达式，根据题意可知函数g(x)是开口向上的函数对称轴x=a/2，所以要分为三种情况，一种是a/2<-1，第二种是-1＜a/2<1，第三种是a/2＞1。

（三）根的个数

关于二次函数根的个数问题，也是中考当中出现频率非常高的一个问题，因此针对根的个数情况也需要进行分类的讨论，往往涉及到二次函数根的个数分类讨论会和辨别式结合在一起，比如说函数f(x)=ax2+3x-2，问函数有几个根，△=b2-4ac，如果△=0，则函数只有一个实数根，如果△＞0，则函数有两个不相等的实数根，如果△＜0，则函数没有实数根。

二、二次函数分类讨论思想培养的策略

（一）理解分类讨论的实质

二次函数分类讨论问题是学生在初中学习当中非常重要的一个知识点，同时也是学生需要重点掌握的内容；并且分类讨论思想，也是学生在生活以及与人交往过程中需要重点培养的一种思维方式。因此分类讨论思想的培养对于学生的发展来说具有非常重要的作用，而培养学生分类讨论思想，最重要的是理解分类讨论的实质，只有让学生理解不同情景下二次函数分类讨论的本质问题才可以让学生理解分类讨论的原因以及分类讨论的步骤。比如说针对二次函数根的问题进行分类讨论，之所以会产生二次函数根个数的问题就是因为二次函数的图像和坐标轴会产生不同数量的交点，也就是二次函数图像位置不同产生的根的数量也就不同，如果二次函数的图像和坐标轴产生了两个交点，那么也就代表在实数范围内有两个不相等的根，反映在辨别式上的结果就是△＞0，那么针对这样的情况，当学生不确定实数范围内函数根的个数时，就需要针对△进行分类讨论，这是二次函数中非常常见的一个问题，而对于二次函数中其他需要分类讨论的问题，依然需要学生深入理解分类讨论的实质，只有学生深入掌握二次函数的知识点，才有可能会理解二次函数分类讨论的实质，从而才会产生分类讨论的意识。

（二）培养学生分类讨论的意识

学生在数学学习过程中的习惯对学生在数学方面的发展会有非常重要的作用和意义，因此需要对学生进行分类讨论意识的培养，只有学生拥有分类讨论的意识，学生在遇到二次函数问题时才可能会拓展自己的思维，面对同一个问题进行分情况的讨论。而除了对学生进行分类讨论意识的培养之外，教师还应该培养学生数形结合的思维，分类讨论思维和树形结合思维是两种不同的思维，但同时两者又会有交融的部分，只有学生拥有树形结合的思维，才会帮助学生进行分类讨论，思想的形成，而分类讨论思想也会促进学生数学结合思维的培养，比如说当学生在判断函数增减性问题时，学生需要针对不同的情况进行不同的讨论，而如果由函数图像做辅助，那么学生问题解决的过程会更加简单。学生分类讨论意识的培养还需要让学生掌握分类讨论的方法，因此教师还应该培养学生自主学习能力，比如说教师在教学的过程中遇到分类讨论的问题，那么教师就可以通过辨识问题帮助学生更好的巩固，又或者由学生收集相关的问题，进行总结。

（三）增加锻炼的机会

实践是检验真知的标准。对于数学的学习也是如此，只有教师在实践的过程中，在不断应用的过程中，才可以验证学生分类讨论思想的形成，判断学生是否可以掌握分类讨论思想，因此教师在教学的过程中要给学生增加分类讨论思想锻炼的机会，能够让学生在实践的过程中检验自己的进步和成长。比如说笔者在实际教学过程中，会结合课堂教学内容给学生提供实践的机会，让学生在自己的习案上进行作业，可以做到边学边用。而笔者也会结合学生在练习纸上的练习情况，在课下对学生进行针对化的引导，比如说笔者发现学生在系数辨别这一方面掌握的比较牢固，但是在辨别式△应用方面的知识点掌握就比较薄弱，因此教师就结合学生在课堂上的表现情况，搜集相似的习题进行总结，让学生在习题完成的过程中不断巩固分类讨论的思想，而习案也会涉及到学生的知识薄弱点记录，因此学生在课堂学习以及课下巩固都会记录自己的薄弱点，学生也会进行自主的补充，因此学生的分类讨论思想就在不断练习，不断实践的过程中得到了锻炼和成长。

综上所述：用发展的方法进行解决我们前进中的问题，对于函数问题也就是这样，在我们教学过程中会发现很多的问题，在我们进步的过程中也会发现很多的问题，那么我们教师要做的事情就是不断的去解决问题，不断的去发现新的方法。函数教学本身是数学学习过程中的一个重点，也是一个难点，所以身为一个名初中数学教师身兼巨任，在其位谋其政，在函数教学过程中在敲学生知识的同时，自己也要积极的去学习，丰富自己的知识体系。

参考文献：

[1] 王张毅. 分类讨论思想指导解中考二次函数压轴题[J]. 中学数学研究(华南师范大学):下半月, 2022(1):3.

[2] 郝建梅. 剖析二次函数中蕴涵的重要数学思想方法[J].  2021.

[3] 黄华. 分类讨论思想在"相交线"概念教学中的应用[J]. 数学教学通讯, 2022(8):3.