借用“游戏活动”  温习几何模型--以《证明三角形相似》教学为例

借用“游戏活动”  温习几何模型--以《证明三角形相似》教学为例

唐德琦

广西南宁横州市新福镇第二初级中学（530321） 一级教师  

[摘  要]：游戏是当代青少年学生非常喜欢的一种趣味性活动，他们可以通过课堂游戏，在乐中求知、在趣中增智、在美中隐情，参与游戏的学生无不全力以赴、用心投入[1]。教师通过课堂游戏激发学生兴趣，引导学生积极参与课堂活动，巧妙设计游戏问题，利用已学过的相似三角形的定义、性质和判定内容，从而重温构建证明三角形相似的几何模型。

[关键词]：游戏  几何模型  三角形  相似

引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提到，初中数学阶段核心素养的主要表现及其内涵内容包括了模型观念[2]。不难得出，在初中阶段学习数学，建立几何模型是不可或缺的一部分，还集中表现在数学建模核心素养的观念上。在教育教学中.发现，初中几何图形有许多典型模型都有自个的特别之处，本文通过嵌入游戏活动，根据学生的知识水平，深刻认识基本几何图形，通过挖掘、提炼几何模型，进一步提高初中数学几何模型的教学水平。

一、开展游戏活动，引发学生兴趣

    课前，笔者结合所在农村学校初中学生学情实际出发，借助信息技术融合的方式设计了一款“砸金蛋”课堂游戏活动。游戏设计：共6颗闪闪发亮的金蛋，可以滚动、可以及时还原。每颗金蛋内分别配有图形或图片，分别是话筒、笑脸、等腰三角形、直角三角形、一般三角形、两个相似三角形。游戏规则：分组活动，4-5人为一小组，每组确定好代表，原则上每个代表一次机会（机会可以留给其他组员），有主动发起挑战者允许第二次机会；砸开金蛋后，金蛋内如果配的图形或图片是话筒的，该组代表在讲台上唱一段自己喜欢的歌，如果砸中笑脸，该代表在讲台表演三组不同笑的表情或讲一个笑话，如果砸中其它三角形形状的，本组成员共同完成画好相类似的三角形，并一起挑战如何构建两个三角形相似（提示：可以适当添加辅助线）。游戏开始，分好各组，选出代表，代表踊跃到电子白板上开展“砸金蛋”活动。砸中话筒和笑脸的组别表演节目别样精彩，课堂氛围融洽。剩下的，就看其他组别秀出他们的真本领吧！

二、借用游戏嵌入，重温几何模型

1.金蛋炸开，思路顿开。当有代表砸开“金蛋”内出现等腰三角形、直角三角形、一般三角形、两个相似三角形图形时，教师活动：安排代表所在组员画出相应的图形，组内共同思考和动手操作完成如何构建两个三角形相似或相似两个三角形有什么特点？，过程可以添加辅助线（限时5分钟）。学生活动：紧张而有序地动手实践。

2.成果呈现，分享模型。砸开“等腰三角形”组代表：我们经过一条腰上任意一点作一条线段平行于底边，所构成新的等腰三角形与原来的等腰三角形相似，如下图1所示：

根据所学知识，我们可以把此图形定义为“A字形”模型。教师活动：还有其它模型吗？学生活动：砸开“一般三角形”组不甘落后举手回答，老师，看我们的。分别延长相邻的两边，在一条延长线上任意取一点作一条直线平行第三条边，所截成新的三角形与原来的三角形相似，如上图2所示：同样，根据所学知识可知，此图形定义为“8字形”模型。学生活动：砸开“直角三角形”组的同学恍然大悟，代表发言说：我们也可以做到构建成他们的几何模型。教师活动：难道你们还挖掘出更加新颖模型？学生活动：自豪地说，那是必须的。我们作直角三角形斜边上的高，如上图3所示，可以得到三组三角形相似，分别△ADC≈△ACB，△CDB≈△ACB，△ADC≈△CDB。教师活动：这一独特的模型我们管它什么呢？有同学知道吗？学生活动：思考，班级的数学科代表回答，曾经在课外书看过，这叫“射影定理”模型。同学们都赞不绝口。教师活动：对，确实是“射影定理”模型。教师活动：同学们，到目前已经重温了关于证明三角形相似的3种几何模型了，相信同学们一定有收获，继续来看下面的分享。问：砸中“金蛋”内是两个相似三角形的组员们，你们是如何借用两个相似三角形构建所熟悉的几何模型呢？学生活动：沉默不语。教师活动：要不你们组员来首歌，活跃气氛吧！热场后问：同学们是否还记得曾经学过利用“一线三垂直”模型证明全等三角形呢？是否可以拼一拼？每组参与。学生活动：讨论，操作。利用多媒体展示拼接成果，如图4、5所示，三等角顶点在同一条直线上，等角共线推等角，角角相似证三角形相似。类比总结，得出“一线三等角”模型。

教师活动：想一想，还可以怎样拼接成常见的模型呢？希望大家大胆尝试、想象。同学们，一个三角形绕某一顶点旋转一定的角度后，前后两个三角形是不是全等？结合这个经验，下面来看老师示范，如图6所示,，△ABC≈△ADE，证明：△ABD≈△ACE。请认真观察图6，有没有熟悉的几何模型呢？学生活动：有，很像绕点A旋转了，但又像兄弟手拉手。教师活动：非常好，两个相似三角形有公共顶点，且可以绕着公共顶点任意旋转，所以称之为旋转相似模型，也叫手拉手相似模型。

教学总结

这是温习证明相似三角形基本几何模型复习课，分两课时，以上为第一课时，课堂借助“砸金蛋”的游戏展开活动，让学生积极参与其中，学生有展示才艺的，有动手操作、探索知识的，大家融为一体。大家共同努力，重拾了构建证明三角形相似的五种几何模型，为下一课时的解题有了充分的准备。几何模型观念也深藏学生的心灵。

三、乐用几何模型，提升解题本领

1.练习1：如图7，在△ABC中，BC∥EF，3AE=BE，BC=15，则EF的长为。

2.练习2：有两个正方形，边长分别为2和4，按如图8所示的方式放置，则图中阴影部分的面积为。

[分析]练习1、2中，所涉及的模型是A字型和8字型，它们利用两个模型先证明两三角形相似，再计算结果。这两个基本模型多数出现在选择题或填空题。且这两个模型也是最为基础的两个几何模型，应用较为普遍。学生如果能很好的掌握和运用，大大提升做题效率，省时省力。

3.练习3：如图9，已知△ABC，∠ACB=90°，点D是AB边上的一点，CD⊥AB交于D，BD=12，AD=4，则边AC的长为。

[分析]练习3中，利用直角三角形和射影定理的有关知识进行考查，射影定理模型也经常以选择或填空题的形式出现。此题也是利用模型证相似，再计算结果。如果学生对射影定理很熟悉，那么会对提高解决此类题目的速度有很大的帮助。

4.练习4：如图10，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6/x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为。

[分析]练习4中，需要添加辅助线后，构成一线三等角模型，从而可证明三角形相似，再根据对应线段成比例，求出点B的坐标。一线三等角模型主要以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景的一线三等角模型，以及以矩形或正方形为背景的一线三垂直模型。一线三等角模型不仅用在全等三角形，还在相似三角形中的广泛应用。

5.练习5：（武汉中考）（1）问题背景：如图11，已知△ABC≈△ADE，求证：△ABD≈△ACE。（2）尝试应用：如图12，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上， ，求 的值。

[分析]此练习主要利用旋转相似模型推导边角关系及旋转相似模型的构造，而旋转相似模型是相似三角形与旋转的结合。在尝试应用练习中，还需添加辅助线，构造成问题背景的图形，然后类比问题背景思路方法进行解题。此类题目属于几何变换，综合性强，灵活性高，比较全面地考查学生的数学核心素养，对学生发散几何模型观念起到重要作用。

教学总结

通过这一课时的训练，学生经历了第1课时的复习五种熟悉的几何模型后，很快就问题解决了，收获满满。同时也充分了解学生在复习活动中掌握构建几何模型的程度。当然，本课时除了训练5道练习题外，还增加了每个对应模型的变式习题，难度适中，并安排学生在规定的时间内独立完成。学生感受到借用几何模型解决实际问题可以多题一解的效果。

四、引入模型观念，感悟教学研究

1.重温探究构建几何模型过程

到了九年级下册，学生对相似三角形知识并不陌生。但在学习过程中由于相似三角形知识比较“碎片化”，做题时出现“就题论题”浅表层次，缺乏对知识的深入研究。我们结合判定三角形相似定理和平行线分线段成比例的基本事实及结论相关知识，从复杂的几何图形不断演变中，抓住问题的本质，帮助学生建立一个清晰、简化的几何模型来解决问题。重温几何模型，就是不断巩固模型观念，增强学生利用几何模型进行分析与思考问题的能力，提高学生的思维素质。

2.善于运用几何模型解题

往往完成几何图形的问题中都会发现，需要添加特殊条件或辅助线才能清晰的呈现几何模型。通常教师先设计符合学生学情的简易问题来解决，使学生掌握解决问题方法；然后利用变式或变图的方式设计变化后的问题，问题是利用不变的几何模型设计。正确引导学生学会以“几何模型之不变”来应“题型之万变”。通过类比、迁移的思想方法，紧抓基本图形，深刻领悟图形本质特征，找出变化规律，摆脱海洋性课量。运用和体验涉及证明三角形的五个几何模型，不断创新和完善，为构建几何模型的历程发展创造条件，也为学生找回学习数学的成就感。

3.巧构几何模型，提升研究成果

数学问题的设计是灵活的，应变性很强的，“变”让几何图形丰富多彩。几何图形的变化有时让学生摸不着头脑。但不管怎样，几何图形的变化是有规律和依据的，这依据来自于基本的几何模型，因此，在复杂图形中隐含的几何模型中，需要不断根据条件提炼，分解图形，最终找到解决几何问题方法。教师平时可以以中考试题为背景进行改编，巧妙变图或变式，使学生思维观念的空间更加广阔。以本文练习5为例，尝试应用问题中，学生通过观察问题背景的图形后，只需添加一条辅助线，就可以构造熟悉的“手拉手相似模型”来解决问题。学生经历了动手作图、探究问题的求解过程，学生对相似模型也有了重新认识。提高学生的数学核心素养还需要培养学生具有开拓、创新意识。

结语

初中数学模型观念是数学核心素养表现之一。教师在几何教学中，找到几何图形的本质规律，不断提炼基本几何模型，且正确引导学生体验几何模型构建过程，帮助学生认识问题的本质。通过“变式教学”挖掘几何图形的作用，从复杂的问题中找到简易的几何基本图形，达到触类而通的效果。对于教师而言， 在教学中应渗透模型观念，善诱学生发现图形的美，发现数学的美，轻松解决数学问题，乐于研究数学。

参考文献

[1]李玉龙.新课程课堂变化的若干问题探讨[S].东北师范大学出版社，2012

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].2022.4

[3]孙凯，蔡支梅.初中数学建模能力测评分析与启示[J].中学教研（数学），2022

[4]梁勇，初中几何48模型[S].西安出版社，2022

[5]秦赟，闫淼.数学教学的趣味题型设计[S].时代出版传媒股份有限公司/安徽人民出版社，2012

[6]张军.几何模型教学研究[J].中学数学参考，2019