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（整期优先）网络出版时间：2022-09-21

作者: 黄映珊

文化科学 >教育学

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分类讨论在不均分排列组合问题中的应用

黄映珊

广东实验中学南海学校,广东佛山528200

摘要：分组分配问题一直是排列组合中的一大难题，而不均分又是难题中的难题。学生初接触此类题目，要不就不知道从何下手，要不就总想“一步到位”，用“分布乘法计数原理”直接计算，要不滥用“间接法”，从而导致重复和遗漏等计算不准确的情况。在解决排列组合中的不均分问题时，精准“分类讨论”，善用“分类加法计数原理”，是准确解决问题的一大法宝。

关键词：排列组合，分组分配，不均分，分类讨论，分类加法计数原理

排列组合是高中阶段一个重要的模块，在高考中占有较大的比例，也是概率统计的基础，这要求学生对排列组合问题要有深刻的理解。而在教学过程中发现，虽然大多数学生对于排列和组合的概念、分类计数原理与分布计数原理都比较清楚，但往往一算就错，还找不到原因。分组分配问题是排列组合题中的一大难题，而不均分问题又是难题中的难题。解决这一难题的法宝就是“分类讨论”，不重不漏的分类。如果在面对排列组合题时，能不怕麻烦，养成分类讨论的习惯，善用“分类加法计数原理”，则能把大部分的题目收入囊中。下面就排列组合题中不均分问题怎样应用“分类讨论”进行具体的举例和分析，希望对大家有所启发。

一、“分步乘法计数”与“分类加法计数”问题

例1.1 将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴某大型展览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)

答案：90。

解析：解决分组分配问题一般先“分组”，再“分配”。先把5位志愿者分成3组，规定两组各2人，另一组1人，则一共有种分法。再把三组分配，乘以，得=90种。

这道题的解题过程中没有用到分类，只有分步，分两步即可解答。也就是说当限制的条件较多，每组人数确定时，则不用分类，直接分步解决。其中在分组的时候除以，那是因为有两组各2人，如果只是，则分组时会重复计算。比如甲、乙、丙、丁、戊五个人，在五选二时，选了甲、乙，在三选二时，选了丙、丁，剩下戊一人一组，这样就分成了三组：甲乙，丙丁，戊。但也有可能在五选二时，选了丙、丁，在三选二时，选了甲、乙，剩下戊一人一组，这样也是分成了三组：甲乙，丙丁，戊。跟刚才一样，也就是说重复计算了。为了避免这样重复计算的情况，因此要除以一个数。除以多少？其实我们在计算的时候相当于对这两组进行了排列，因此要除以2的排列数。这就是分组问题分组时不重复的诀窍所在。

例1.2 某次国际合作论坛，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有(　　)

A．96种　　　　B．100种

C．124种D．150种

答案：D。

解析：因为每个区域至少有一个安保小组，所以把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分。当按照1,1,3来分时，不同的安排方法共有N1＝A＝60(种)；当按照2,2,1来分时，不同的安排方法共有N2＝A＝90(种)。再根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N1＋N2＝150(种)。

[思路点拨]　→→

分析：这一道题由于没有规定每组的具体人数，只说“每个区域至少有一个安保小组”，所以有不止一类的分法。分类讨论时，要做到不重不漏。5分3，每组至少1个，有两类不同的分组方法，一类是1,1,3，一类是2,2,1。先计算出各自不同的安排方法，再加起来，即得最终结果。

例1.3 2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”。某校6名大学生分成两个小组，到A，B两个社区做宣传，每个组至少分配2人，则不同的安排方案共有

A．35种B．55种 C．50种D．70种

答案：C。

解析：因为每个组至少分配2人，所以把6名大学生分成两个小组，共有两种方法，一种是按照2,4来分，一种是按照3,3来分。当按照2,4来分时，不同的安排方法共有(种)，当按照3,3来分时，不同的安排方法共有(种)。再根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N1＋N2＝50(种)。

分析：这一道题跟上一题类似，也是没有规定每组的具体人数，不止一种分组方法。6分2，每组至少2个，有两类不同的分组方法：一类是2，4，一类是3，3，不算4，2，因为等一下还要分配，所以不需算4，2。

通过上面几道题我们可以看到，解决不均分分组问题时，先分类讨论每组的人数很重要。

二、“不能同一组”与“必须同一组”问题

例2.1 现有5名教师要带3个不同的兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，求不同的带队方案有多少种？

分析：此类问题比上面的问题更复杂一点。表面是5分3，每组至多2个的问题，则只有一类分法：2,2,1，但是由于甲、乙不能单独带队，则问题又复杂升级。但只要不怕麻烦，仔细分类，仍不难求解。从这一题我们可以看到，虽然在分组人数上只有一种分法，但要准确解决问题，仍需耐心分类。分类时要考虑全面，做到“先解决内部矛盾”，“先分组，再分配”，先分好组，不着急把人员分配下去。

解析：第一类，把甲、乙看做一个复合元素，另外的3个人分成2组，有种方法，再分配到3个小组中，一共有CA＝18(种)；第二类，先把甲、乙与另外的3人配队，有种情况，再分配到 3个小组，一共有AA＝36(种)。根据分类加法计数原理可得，共有18＋36＝54(种)．

例2.2 现有A，B，C，D，E五名志愿者分配到甲、乙、丙三个不同的社区参加志愿者活动，每个社区至少安排一人，则A和B分配到同一社区的概率为

A． B． C． D ．

解析：根据例1.2可知，5分3，每组至少1个，有1,1,3和2,2,1两种分法，一共有150种不同的分配方法。而A和B分配到同一社区，在第一类1,1,3分法中，则A、B在3人这一组里，有种不同的分配方法，即=18（种）；在第二类2,2,1分法中，A、B在其中一组2中，有种不同的分配方法，即=18（种）。根据分类加法计数原理加起来，一共有（种）。则A和B分配到同一社区的概率为。故选C。

分析：这道题本来就是“不均分”的分组分配问题，再加上还有限制条件，让学生解起来十分费劲。但是如果能巧用 “分类讨论”，把限制的条件融合到“分类”里面去，则能使问题思路指向清晰，问题迎刃而解。用类似的方法，则可轻松解出下面这一题。

例2.3 甲、乙、丙、丁 4 名师范院校的大学生分配至 3 所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（）

A．30 B．42 C．50 D．58

解析：首先将甲、乙、丙、丁分成3组，只有1,1,2一种分法。因为甲、乙不能同组，则可分以下两种情况：第一类：甲、乙都单独一组，则丙、丁两人在一组，共1种分法；第二类：甲或乙中有一组分到2名学生，则有（种）分法。所以将甲、乙、丙、丁分成3组一共有1+4=5（种）分法。再将三组分配至三所学校，有（种）分法，则一共有（种）分配方法。故选A。

三、“元素相同”与“元素不同”问题

例3.1 登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　)

A．60B．120

C．240D．480

分析：这一题跟上面的例1、例2不一样的地方是分组的元素里有截然不同的两类：熟悉道路和不熟悉道路。那么在分组的时候需要对不同元素加以考量。登山运动员10人，平均分为两组，则每一组各5人。熟悉道路的有4人，不熟悉道理的有6人，每组需要2名熟悉道路的人，则每组都是有2名熟悉道路的人和3名不熟悉道路的人组成。

解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种．再将余下的6人平均分成两组有种．然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有C·C＝60(种)。故选A。

例3.2 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?

分析：这一题里有3种不同的元素，解答时需盯紧其中的一种，进行分类。如果盯紧左舵手，则可分为四类：选〇名左舵手、选一名左舵手、选两名左舵手、选三名左舵手。如果盯紧右舵手，可分为四类：选〇名右舵手、选一名右舵手、选两名右舵手、选三名右舵手。如果盯紧多面手，也可分为四类：0名多面手划左（右）舷，1名多面手划左（右）舷，2名多面手划左（右）舷，3名多面手划左（右）舷。从这里我们可以看到分类要做到不重不漏，精准分类，需要只针对其中一个元素进行讨论。下面以左舵手为例进行解答。

解析：第一类，选〇名左舵手，种，则再选择三名多面手划左舷，有种，在剩下4名右舵手和2名多面手里任选3人划右舷，有种，则有 = 200（种）；第二类，若选一名左舵手，有种，则再选择两名多面手划左舷，有种，在剩下4名右舵手和3名多面手里任选3人划右舷，有种，则有（种）；第三类，若选两名左舵手，有种，则再选择一名多面手划左舷，有种，在剩下4名右舵手和4名多面手里任选3人划右舷，有种，则有 = 840（种）；第四类，若选三名左舵手，有种，不需要选择一名多面手划左舷，在剩下4名右舵手和5名多面手里任选3人划右舷，有种，则有 = 84（种）。故一共有 = 200+1050+840+84 = 2174（种）。