關於等差數列求和與梯形面積公式相似性的聯想

關於等差數列求和與梯形面積公式相似性的聯想

金玺

（中国香港）李志达纪念学校 999077

摘要：通过数形结合的方法，巧妙地将小学的梯形面积公式与奥数范围内的等差数列求和公式的各项一一对应起来，使得枯燥乏味的数学公式更加形象化，便于理解，记忆深刻。

关键词：数形结合，梯形面积公式，等差数列

一则有趣的故事

數學王子高斯在小時候即展現出驚人的數學天賦，又一次，老師出題“1+2+3+…+100=？”當同學們還在埋頭苦算的時候，高斯已經舉手說出準確的結果：5050。

高斯驚奇的發現，1到100這100個數字中，如果1和100，2和99, 3和98，4和97直至50和51互相累加，其和都是101，而這樣的組合一共有50組，因此，1+2+3+….+100可以轉化為 101x50這樣的乘法問題，不難發現答案就是5050。這樣的思路比1+2+3+…+100逐個計算，不知道要快多少倍。

這個故事除了令我羡慕高斯的聰明才智之外，也一直啟發著我對巧妙計算的思索。在2年級學習奧林匹克數學的時候，我遇到了類似的計算題型，比如：

1+3+5+7+9+11+13=？

95+90+85+80+75+70+65+60+55+50=？

題目不一而足，其解題的思路和方法跟高斯的思路一樣，都是利用首尾數相加的辦法快速計算，在奧林匹克數學培訓中，這樣的思路叫做“配對法”，也有叫做“連線法”。

书本上的相关知识

隨著對數學知識積累，我學習到類似這樣的一系列數字，他們的特點是：

1. 數字總是逐漸變大或者逐漸縮小
2. 任意兩個相鄰數字之間的差是一個固定的數

這樣的數列叫做“等差數列”，根據對等差數列的研究，有如下特點：

諸如：

A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7……An,

相鄰兩個數字之間的差值為d = A2-A1=A3-A2=A4-A3=….

那麼：

An=A1+(n-1)xd

A1+A2+A3+…..An=(A1+An)n/2

這個推導過程相對複雜，以至於我只能先強行背誦，運用在計算中。

然而後來在學校學習梯形的面積公式時，我無意發現梯形的面積公式與這個等差數列的求和公式非常相似：

S梯=（上底+下底）x 高 / 2

将故事和书本的知识联系起来

這激起了我的好奇心和聯想，是否等差數列的求和，與梯形的面積公式之間存在著一些關聯呢？

我按圖索驥，將兩個公式比較：

在等差數列求和公式(A1+An)n/2中，假設A1是梯形的上底，An是梯形的下底，n是梯形的高度，這樣，求和公式便和梯形的面積公式等同了，實際上是否如此呢？

我覺得用圖形來展現這個公式，在下圖中：

有一組數字4+5+6+7+8+…+17=？

如果將第一個數字4看成梯形的上底，最後一個數字17看成梯形的下底，那麼梯形的高度恰好是這一組數字的個數14，

根據梯形的面積公式 S =(4+17)X14 / 2 = 147

根據等差數列的公式（A1+An）xn / 2 = （4+17）x 14 / 2 = 147

這就用圖形來說明瞭等差數列求和的原理。

為什麼梯形可以用來模擬等差數列的求和呢？我進一步切割了上圖的梯形：

每一個紅色的三角形，都是這個梯形與左側一個梯形的差值。不難發現，這些紅色小三角形，面積都是相等的（可以通過全等三角形加以證明）

而這正符合了等差數列的特點：

任意兩個相鄰數字之間的差是一個固定數。

结论

数形结合是数学王国里非常重要的一种思维方式，通過将梯形面积和数字求和公式进行比較和聯想，我對等差數列的理解更加深刻了，也無需再辛苦的背誦公式。用作圖法來説明數位運算，有時候可以發揮奇效呢！

参考文献

[1]秦亚丽.构造等差数列求函数的最值[J].数学教学通讯,2010(24):43-44.

[2]汪哲民.联结·建模:梯形面积公式适用于圆吗[J].中小学数学(小学版),2022(04):41-43.

[3]徐峰.激活大脑神经 激励方法“穷尽”——以“梯形面积公式”教学为例[J].小学教学参考,2020(05):54-56.