核心素养理念下的高中数学教学设计---以《三角函数的概念》为例

核心素养理念下的高中数学教学设计---以《三角函数的概念》为例

李金

广州执信中学510080

摘要：本文比较分析了新旧教材对《三角函数的概念》这节课的设计和编排，并基于数学核心素养的理念，与时俱进，以提升学生学科素养为目标，就如何运用新教材更好的设计和组织本节课的教学展开了研修。

关键词：三角函数的概念；核心素养；教学设计

随着新课程改革的不断深入开展，基础教育数学课程的理念与教材内容的呈现方式也在不断与时俱进，以期实现“以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”[1]等目标。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，要培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大核心素养，也就是要让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。以人教版教材为例，为了落实最新课程标准的要求，最新修订并于2019年秋季陆续投入使用的《普通高中教科书·数学（人教A版）》，相较于2004年秋季开始发行的《普通高中实验教科书·数学（人教A版）》（以下简称“旧教材”）,教材的编排与内容的呈现形式有了很大的变化。

如何基于数学核心素养的理念，运用新教材更好地设计和组织教学，以更好地发展学生的思维，增强发现问题与提出问题、分析问题与解决问题的能力？下面以“三角函数的概念”为例，对比新旧教材的处理方式形成有效的发展学生数学核心素养的教学设计。

一、教材比较分析

1.基于课程标准要求的“三角函数的概念”新教材内容分析

以《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》为例，三角函数的概念的分为2个课时，这里重点分析第一课时内容。

函数是刻画现实世界运动变化规律的重要函数模型。作为基本函数之一的任意角的三角函数，是刻画周期性运动规律的重要函数模型。其中圆周运动是周期性运动的典例，前面通过对任意角和弧度值的学习，建立了角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数做好了铺垫。

要刻画圆周运动，关键是把握质点的位置变化。从函数的角度，自然需要将点的位置坐标化，将角的度量实数化。因此，直角坐标系的引入和弧度制的作用可以使得圆周运动的规律用函数模型刻画：圆周运动中，圆上点的位置随着角的大小而变化，通过一个角到一个点的位置，实现一个实数到两个坐标的对应，而函数的本质就是一种映射或者是对应关系，从而抽象形成了三角函数的定义，在三角函数概念建构的过程中更加强调了它的“函数”属性，三角函数的引入有效的解决了用函数模型刻画圆周运动的关键问题。

任意角的三角函数的定义有两种方法，分别是“终边定义法”和“单位圆定义法”，这两种方法本质上是一样的，新教材中充分体现了这一点。新教材采用了后者建构三角函数的概念，再以例题的形式证明了前者和后者两种定义的一致性。两种定义各有优点，前者更加基于学生的认知结构和认知习惯，学生在初中就学习了锐角三角函数的定义，有利于引导学生从已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有不利的影响，而后者更符合概念的本质。新教材中用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数可以更好的反映三角函数的本质，这个定义清楚地表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，角a是弧度数，那么正弦函数和余弦函数就是关于任意实数a的函数，这时，自变量和函数值都是实数，这与函数的一般概念完全一致。教科书在5.2.1中安排例2也是让学生理解用单位圆上的点的坐标定义与用角的终边上点“坐标比”来定义是等价的。既然角α终边上的任意一点都可以定义三角函数，那么当r=1时，借助单位圆定义三角函数会更简洁。

2.与旧教材“三角函数的概念”的内容比较

《高中数学》（必修第一册）的内容主线是函数，无论是前面学习的幂函数、指数函数和对数函数，还是后续 学习的三角函数，这些概念都是通过概念同化的方式获得的．概念同化过程是以学生己有的知识经验为基础，揭示概念的本质属性，明确新旧概念间的逻辑联系，直接定义新概念．定义三角函数的概关键是明确三角函数的概念与 函数概念的逻辑联系，更好的体现三角函数的本质是一种新的对应关系即函数。

比较而言，旧教材基于学生初中对锐角三角函数的认知，先建立锐角三角函数的单位圆定义，再通过类比和推广到任意角的三角函数，而这个过程对学生把握三角函数的本质是不利的，不能很好的反应概念的本质。

二、已有“三角函数的概念”的教学设计分析

已有的三角函数概念的教学设计大部分基于旧教材的设计，基于学生初中的认知结构和认知习惯，旧教材（人教版必修四）中三角函数和向量整本教材的重要模块，和高一学习的函数模块是分开的，不利于学生把握三角函数的本质，为更好的培养学生的科学精神和学科素养，新教材的处理会显得更好。本教学设计是基于人教版新教材的设计，在认真研读教学参考和教科书的基础上，基于数学学科教学理念，与时俱进，以提升学生学科素养为目标而设计的。

三、三角函数的历史简析

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同)。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数公式表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角函数与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》(Syntaxis Mathematica)中计算了36度角和72度角的三角函数的正弦值，还给出了计算和三角函数公式表以及角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。

古希腊文化传播到古印度后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度(3.75°)的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角函数学是直接继承于古希腊。

阿拉伯天文学家引入了三角函数公式中的正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分(10′)的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化(古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式)的努力为后来三角函数从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。

四、“三角函数的概念”教学重构

根据前面对“三角函数的概念”的教材内容与教学目标分析、常见教学设计剖析，以及对相关数学史的梳理，下面基于数学核心素养理念结合学生实际给出“三角函数的概念”的教学设计思路。三角函数是一类特殊的函数，因此本节课侧重于在一般函数概念的指导下组织教学，通过经历“单位圆法”定义三角函数的过程，让学生理解三角函数是建立在角的弧度数和坐标之间的对应关系，让学生重新认识三角的概念和初高中两个概念的区别和联系。以下是教学过程中的几个主要教学环节的处理。

 (一)明确研究对象，提出研究任务

问题1： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型之一。匀速直线运动、自由落体运动和抛物运动分别用什么函数模型描述？

指数函数和对数函数分别描述客观世界中那些具有“指数爆炸”和“对数增长”现象的数学模型。通过问题引导学生思考函数的本质和数学建模的思想。

问题2：我们发现，大到宇宙天体的运动，小到质点的运动，客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性，我们能否建立一种函数模型来刻画这种规律？

通过问题串的形式驱动学生思考，并让学生明确了本节课研究的对象和任务。

问题3： 圆周运动是一种常见的周期性变化现象。是研究周期现象变化规律的理想载体。

如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况？

通过分析圆周上的点P的运动变化过程，发现当圆心位置和半径确定时，点P的位置是由以OA为始边，OP为终边的角α确定的，我们可以用角α的大小来刻画点P的位置变化。要建立函数模型刻画P点的位置变化情况，需要把运动变化的对象量化表示，其中角α的大小用弧度数表示，点P的位置用坐标表示。

探究1：单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，我们考虑建立坐标系，用函数模型来刻画点P的位置变化规律.

引导学生建立坐标系，分析建立函数模型的思路①建立坐标系②分析变量：角的变化用弧度数表示；点P的位置在变化用坐标表示③建立对应关系，即任意给定的角α，它的终边OP与单位圆的交点P是唯一确定的，则P点的坐标（x,y）也就唯一确定

【设计意图】让学生在角 α 的变化过程中形成对应关系的认识，培养学生直观想象素养 . 学生认识到每

个α唯一对应着一个x或y的值之后，用所学的函数概教念同化新的认知。

(二)建立函数对应关系，形成三角函数的概念

探究2：完成下列表格

问题4：任意给定的角α，它的终边与单位圆的交点P的横坐标和纵坐标是否都是唯一确定的？（几何画板动态演示P点的坐标随着角α的变化过程）

引导学生从特殊到一般，对单位圆上的点的坐标与相应的角之间的对应关系展开研究，接着再利用几何画板，让学生观察当角α连续变化时，建立单位圆上点的横坐标、纵坐标和角之间的对应关系。通过对应关系的分析，结合函数的概念，然后给出三角函数的形式定义。

（三）三角函数的概念

设角α是一个任意角，α,它的终边OP与单位圆相交于点P（x,y）.

(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα;

(2)把点P的横坐标叫做α的余弦函数，记作cosα，即=cosα;

(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tanα，即=tanα()我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，记为：y=sin，; y=cos，; y=tan，

问题5：对比三角函数的定义与之前学过的基本初等函数的定义，两者有什么相同点和不同点？

让学生明确三角函数的三要素，特别是要明确“给定一个角，如何通过几何元素之间的关系对应到函数值”的操作过程，对比之前学的基本初等函数的对应关系是都是用有运算背景的解析式给出的，破除学生对“对应关系”的思维定势。

（四）概念的巩固与辨析

例1. 利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值．

通过例题和分析，让学生进一步熟悉三角函数的定义，并总结出求一个角的三角函数值的一般步骤。

问题6：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设 ，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

学生初中学过的锐角三角函数是用来刻画三角形中的边角关系的，而任意角的三角函数是刻画周期变化现象的函数模型，两者之间没有什么必然的联系，但运算的结果是一致的，概念相容没有产生矛盾。通过探究让学生思考任意角的三角函数和锐角三角函数的关联和区别，进一步加深任意角的三角函数的定义是刻画周期性变化的函数模型。

例2.如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（，y），点P与原点的距离为r．求证：

例题2的设计让学生证明了用单位圆上的坐标定义和用角的终边上点的“坐标比”来定义结果是相同的，本质上一致的。对比两种定义，既然角的终边上的任意一点都可以定义三角函数，当取与单位圆的交点时，三角函数的定义形式会更简洁，简洁美是数学的特色。

小结：1、用角的终边上点的“坐标比”定义三角函数和用角的终边与单位圆的交点坐标定义三角函数是等价的

2.既然角α终边上的任意一点都可以定义三角函数，那么当r=1时，三角函数的定义会更简洁。

课堂练习：

1.已知角θ的终边过点P（-12，5），求角θ的三角函数值。

2. 求的三个三角函数值。

通过课堂练习，让学生更好的巩固和熟悉三角函数的定义，其中在第2题中学生会发现和的三个三角函数值是相等的，这就体现了三角函数的周期性和点在圆周运动时周而复始的规律，前后呼应。

（五）课堂小结，布置作业

建立函数模型研究运动变化规律的一般思路：运动变化的现象---变量关系----建立函数的对应关系---定义函数----函数性质--把握运动规律.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[S].北京：人民教育出版社，2018：2.

[2]陈坤其，基于学科核心素养的高中数学教学设计 --以《三角函数的概念》为例 ，福建基础教育研究，2020.7

[3]章建跃，三角函数教材落实核心素养的思考，中小学数学（高中版），2016.12