高考函数与导数问题中一类零点问题的常用基本对策

高考函数与导数问题中一类零点问题的常用基本对策

何文明, ,洪步高

浙江省富阳中学

摘要 ：函数与导数中的零点问题是近几年全国高考的热点。由于这类问题具有知识点多，方法灵活，综合性强等特点，学生很难掌控。本文尝试通过梳理解决函数与导数中的零点问题的六个常见基本对策，帮助学生形成解决这类问题的解题程序和相应知识网络，促进学生原有零散知识的结构化沉淀。

关键词：零点问题 常用对策

函数与导数中的零点问题是近几年全国高考热点、难点问题。由于以函数与导数中的零点问题为代表的多变量问题并不是某一章节或知识模块内容，而是贯穿高中数学各个知识模块之间，学生在这方面的知识容易碎片化，因此这类问题也一直是学生的痛点问题。纵观近年全国高考数学试题，函数双（多）零点问题题干设计呈现出两大特征：第一类直接描述函数的零点（比如2016高考全国卷1第21题；2018年高考新课标1卷理科第21题；2022高考全国甲卷理科第21题；2022高考全国乙卷理科第21题）；第二类间接描述函数的零点（比如2018年高考全国1卷第21题；2021高考全国1卷第22题；2022高考全国1卷第22题）。  可见，在近几年的全国高考的函数与导数解答题中，命题教师不回避这一热点，几乎年年考查。由于处理这类问题的方法难度较大，难以表述，很多老师在高考复习教学中感到不知所措。为了更精准地备考，这里笔者总结了几种解决这类问题的基本策略。

例1若函数存在两个不同零点且.求证：

（1）  （2）   （3）

策略1  消元法

（1）分析：对于双元问题，我们一般的处理方法是引导学生通过消元变为单元.由题知，可得，当且仅当取得。

策略2  换元法（比值代换）

（2）分析：对于双元,难以自身消元时，通过变形获得不涉及字母的,的关系

式，关系式可以改变为，对过比值换元，令，则，可知，从而，，即证：，即证：，令，可知，可知在上单调递增，且，故，得证.

策略3  对称化构造函数法

（3）分析：如果把本问题看作函数极值点偏移问题。由两个零点可知关于的方程有两个正根，令，可知为极值点，且，故即证，而在上单增，即证，即证，令，可知，即在上单调递增，且，故，得证.

策略4 对数平均不等式法

分析：对于（3），我们也可以先利用对数平均不等式：来消元。将关系式变形为，即证：

，即证：，令，即证：。

事实上，上述推理告诉我们，其中，故得证.

评析：消元思想是处理双变量问题的核心策略。通过比值换元、整体换元也可以实现减元的目标。对数平均不等式的本质即齐次化下的比值换元，而比值换元比对数平均不等式具有更广泛的适用性。

例2  已知函数有两个零点且.求证：且.

策略5 同构法

分析：通过恒等式可以有效沟通指对数，帮助化简该函数，易知，从而令，可得到复合函数，易知，，此时有唯一正根，由可知由两个交点，易知当时，，，即也是的零点，同理也是的零点，即方程和同根，从而，由对数平均不等式可知，得证.

例3  已知，求证：.

策略6  放缩法

分析：令函数，，与，分别有两交点，

由熟知不等式：

所以当时，，

当时，

所以，由单调性知,

，由单调性知，

如右图.而与有两交点时满足：为两根，即，从而;

再令，，

当时，，可知，当时，

令，

，可知在上递增，且，故，从而当与有两交点，与和分别交于，类似可知，，从而，而，故.

事实上，上述问题的目标还可以进行如下的变式：

变式1：利用常见函数不等式，我们能否探

究出一个关于的新结论？

提示：，结论为：

变式2：如果采用两条切线放缩，能否得到新的结论？

提示：易知.

变式3：如果采用两条割线放缩，能否得到新的结论？

提示：易知.

说明：其实本题令，即有，则可证.

变式：已知函数，设为两个不相等的正数，且，求证：

分析：由题知，即，令，即当时，证明：.令，，即回到例3.

评析：合理地改变函数形式或者条件结构有助于解题。从解题中容易发现，比值换元在本题十分有效，对数平均不等式在本题不能直接使用。对数平均不等式的本质即齐次化下的比值换元，而比值换元比对数平均不等式具有更广泛的适用性。同时通过换元方法，可以改变条件结构构造新的问题，也是一种良好的命题思路。