以问题为起点，追求自然合理的解法

以问题为起点，追求自然合理的解法

邱中蔚

兵团教育科学研究院  830000

内容摘要：数学问题虽然是千变万化的，我们怎样解决数学问题，其关键在于理解数学问题的本质，我们需要摸清问题的实质，摸清问题的来龙去脉，才能找出问题的通解通法。因此，注重通性通法显得尤为重要，在解题教学中，注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才能提高学生数学学科核心素养。本文针对一类恒成立问题及2020年全国2卷最后一道导数题进行探讨。

关键词：不等式、导数、数学素养

一、引言

1.定理1：若,在可导，要使在恒成立，变形可得在恒成立，其中,若在是凹函数，且，则只需.

2.定理2：若,在可导，要使在恒成立，变形可得在恒成立，其中,若在是凸函数，且，则只需.

二、观察结构特征，定思路

对于恒成立问题、存在性问题，大部分学生偏爱用分离变量的方法，因为用分离变量法，通常得到的是参数与具体函数的不等关系或者相等关系，再用导数研究函数的单调性，往往是确定的，这样就避免分类讨论；但是，不用分离变量法，直接构造函数也很简单，那么，哪种方法更简便，要视具体问题而定。

问题1：若，对，恒成立，求的取值范围.

解法1：因为，当时，即，，

所以在上单调递增，所以.

当时，即时，因为，令，

则方程的根，；当时，单调递减，所以，使得当时，单调递减，

所以.

综上，.

解法2：由可知，，记，

则；设，故

（），所以是在上的增函数，所以有，即有在上的增函数.

   因为=1，综上可知.

解法3：恒成立等价于，

记，，所以，；

因为上，则，所以是凸函数，所以要使得，只需，所以.

解后析思：（1）方法1的解法自然合理，分类讨论确定导数的符号，明确了函数的单调性，求出范围；方法2是分离不等式中的变量，通过分离变量构造出新函数，再利用导数求出所构造出的函数的范围；在解决问题的过程中，若碰到“、”型极限问题，可利用洛必达法则进行求解；解法3是根据函数的凹凸性对不等式进行变形，利用函数的凹凸性理论方便快捷的将问题解决。

（2）我们对于含参数的恒成立问题，要重比较、重分析，同一数学问题有不同的解决方法，而一些问题的多种解法又有其优劣之分，到底采用哪种方法不能一概而论。所以，我们平时在解题教学过程中，我们要比较分析各种解法，找到各解法之间的区别与联系，让学生寻找到解题经验，选择合适的方法解决问题。

三、充分挖掘隐藏信息，充分审题

逻辑推理是数学学科核心素养的重要部分，我们解决一些数学问题的过程就是逻辑推理的过程，依据已经知道的条件和我们的数学认知，推导未知的信息，我们的所推理的目标就是验证或者说明已给的结论是否正确。

问题2：（2020年全国卷2第21题节选）已知函数

（1）讨论在区间的单调性

（2）证明

解：（1）通性通法

因为，

令，又因为，所以，，。

，单调递增；，单调递减；

，单调递增；

（2）角度一：从函数的单调性出发，

因为，

所以函数的周期为；因为,

由（1）可知：，，所以，。

角度二：柯西不等式，

因为原式

当且仅当时等号成立，所以

角度三：从Jesen不等式出发，

考虑的一个周期，若，则

；，

因为，，所以。

角度四：从均值不等式出发，

，即，

所以，，当且仅当时等号成立。

四、解题教学的几点思考

1.重视基础

我们解决数学问题常常用的方法是化归思想方法，该方法能够使我们把复杂抽象的数学问题转化为我们比较熟悉的问题，使得问题看上去更容易破解。因此，我们要有扎实的数学基本功，自身有丰厚的数学基础知识，才能转化复杂的数学问题变得更加简单，复杂的数学问题才能被最终解决，什么是熟悉、简单和直观的问题？我们要看学生的层次如何，学生所具备的数学知识有多丰厚，往往不同层次的学生可能有不同的解决方案，所谓会者不难、难着不会。所以，我们在平时的教学中，多重视学生基础知识、基本的数学技能，学生只有基础打扎实了，才能把复杂问题进行分割、转化，达到逐一化解的目的。

2.突出通法，延伸思考

在课堂上，学生是课堂的主人翁，课堂要从学生的角度出发，以他们现有的数学知识、自身的能力出发，去展开我们的教学，充分的调动起学生主观能动性。在教学过程中，作为教师的我们，应该以问题为导向，逐一设问，有梯度，才能开启学生的思维。这样才能激发出学生潜能，才能提高学生的思维能力，让学生真正体会到成功后的喜悦。

3.突出思维过程，体现用联系观点看问题

    教学生的抽象思维，就是教学生如何形成自己的思维习惯，如何去构建认知结构，体会价值。没有创新思维，就没有思想。随着教学的过程时不断变化的，不管怎样变，我们作为老师不能模糊，对于内在相联系的知识点，它们处理问题的思想方法，是可以借鉴的，我们要抓住，要突出这一思维的过程，让学生清楚这一内在联系，它能使复杂的问题由章可循。比如函数这根主线，就统领了高中大部分的内容，学生已进入高中就已经涉及函数知识，我们从函数的背景出发，从集合论的角度得到了函数的定义，总结了函数的一些性质，体验了函数的一些应用，函数贯穿了高中数学内容的始终，比如数列、随机变量及其分布列、二项分布、正态分布，本质上都是函数的知识，所以，我们的教学就可以沿用其认知模式。

4. 教学生数学思想方法，使其促成高远立意

   事物是不断发展变化的，问题也是千变万化的，数学知识只是让学生知道了是什么，而数学思想方法是教会学生怎么做，学生只有内化处理问题的方法，形成自身的技能本领，才是数学学习的归宿。学生数学学习的目的是掌握知识，然后再迁移知识，达到学以致用，而真正能掌握处理问题的思想方法，并不是一朝一夕的事，必须得有个过程，让学生不断的去感知、体验，在培养学生核心素养的大势下，我们的教学应低起点的切入课题，高观点的去思考解决问题的方，不断的渗透解决问题的思想方法，应让学生了解数学的发展史，了解现实的生活，让学生自己探寻数学知识源头，，让他们体会数学知识是源于自然和现实生活的。

参考文献：

[1]蔡小雄.高中数学思想与方法[M].浙江:浙江大学出版社.2013.242-262.

[2]加南大安大略省数学课程标准中的数学素养研究.数学通报[J].2016.09.

[3]让学生数学的思考问题.数学通报[J].2016.12.