六年级学困生的个案研究——以乘法分配律a×b型变形题目为例

六年级学困生的个案研究——以乘法分配律a×b型变形题目为例

陈绮琳

深圳市宝安区宝安中学（集团）海天学校

摘要 对乘法分配律a×b型变形题目展开研究，选择六下两名学困生开展一个月的训练研究，7次训练后学生掌握了a×b型题目计算方法。通过训练题目与学生访谈，分析学困生在解决a×b型题目时有以下思维特点：1.专注力不集中，关注无关紧要的信息，提取信息能力差。2．盲目模仿与拼凑，缺乏思维的批判性。3.对数学材料的记忆功能异常薄弱，对某一模型清晰度不够。4.对题目错误解法印象深刻，数学思维刻板。对应的策略有：1.多元表征乘法分配律，为学生提供适合的乘法分配律表征进行阅读学习。2.将学生错误解法与正确方法做成例题，通过对比来强化。3.由易到难，保证练习次数、题量与巩固时间。4.规范书写，养成检查习惯。

关键词乘法分配律；学困生；个案研究；数学思维；帮扶策略

一、问题提出

乘法分配律对一部分学生的学习有困难，其中一个重要的原因是乘法分配律的表现形式很多，如：a×cc型、 a×cnc×b型、 a×b型，笔者选择a×b型进行研究，其中b是接近整十整百的数。六年级学困生在解决乘法分配律变形题目a×b时的思维特点是什么？ 如果教师不讲解，解决问题的策略有哪些？

带着以上的思考，笔者展开研究。现将研究对象、内容、过程、结果与发现阐述如下，以期与同行交流。

二、研究对象、内容、过程和结果

（一）研究对象

研究对象为深圳市宝安区某小学六年级两名学困生，基本情况如下：

苏亚斯是一个活泼开朗的女孩，父母在她三岁的时候离异，父亲重组家庭，亚斯与母亲外婆外公住一起，母亲是销售员，每天很晚回家，家里没有人辅导她的学习，作业经常不完成，亚斯学习意愿不强烈，不愿意思考，数学理解能力较好，但不会用数学语言表达，前测中有关乘法分配律的简便运算全部做错，六年级下册数学期中考试38分。

赵奕然是家里唯一的男孩，父母非常溺爱，很任性，作业经常不完成，上课不听课，喜欢找同学聊天，不愿意动笔，书写潦草，做题粗心大意，数学理解能力较差，前测中会正确简便运算36×34+36×66，不会正确简便运算（40+8）×5与a×b型题目。六年级下册数学期中考试32分。

（二）研究内容、训练时间与过程

研究内容：针对学生的情况展开一个月由易到难，从整数乘整数型如99×17、102×15，到小数乘整数型1.1×38，再到小数乘小数型5.7 × 9.9，共7次跟踪训练与检测。训练的题型有阅读材料、简便运算例题、填空题、简便运算习题与解决问题。共9道例题，68道训练题。阅读材料有关于乘法分配律买衣服的生活情境例题， 乘法分配律意义（几个几）例题，a×b型题目的简便运算例题。

训练时间：亚斯共训练85分钟，奕然共训练102分钟。

研究过程：通过任教老师了解学困生情况，确定两名研究对象。通过前测，了解学困生对乘法分配律常见题目与a×b型题目的掌握情况。记录每次学生完成需要的时间，学生完成后，根据阅读材料与训练题目对学生进行访谈，了解学生对阅读材料的理解情况、学生错题的原因、困难的地方。把学生的易错题出成下次训练的阅读例题。如果学生都正确掌握，再隔7天左右进行测试，检查巩固情况。

（三）研究结果

本次研究的只看学生的计算方法是否正确，计算结果错误的也算正确。训练结果如表1：

表1

7次训练后，亚斯与奕然掌握了a×b型题目计算方法。在访谈中，学生能够正确说出计算方法的缘由。亚斯知道阅读材料中把99等值变为100-1，102等值变为100+2的理由与用途。具体对话如下：

师：“你看的明白阅读材料99×17，102×15这两道题目的方法吗？”

亚斯：“一个是要减，一个是要加。”

师：“那为什么这个是要加，这个是要减呢？”

亚斯：“因为100-1等于99，原数99，99×17也是等于1683。100+2等于102，原数102，102×15也是等于1530。”

师：“把99×17转化为（100-1）×17，102×15转化为（100+2）×15，这样变成了什么形式？”

亚斯：“乘法分配律。”

师：“转化为乘法分配律的形式有什么好处？”

亚斯：“计算简便了。

三、这两个学困生在解决乘法分配律a×b型题目中思维的不足

1.专注力不集中，关注无关紧要的信息，提取信息能力差，容易答非所问。亚斯前测中18题错误17题，都没有简便运算。下图是其中一错题：

图1

亚斯第3次订正正确，但还是说不出理由。具体对话如下：

师：“你为什么没有简便运算？”

亚斯：“我没有看题。”

师：“如果要简便运算你是怎么想的？”

亚斯：“我不知道去掉括号是变加还是减？”

师:“括号里有减号吗？“

亚斯：“没有。“

师：“现在你认为去括号后是加号还是减号？”

亚斯：“我认为是不变的。”

师：“为什么拆开括号40×25，8没有乘25？”

亚斯：“有乘有加先算乘。”

师：“你第2次订正对了，你是怎么想起来的？”

亚斯：“加法分配律。”

师：“加法分配律是什么？”

亚斯沉默。

从亚斯的做题与订正中发现，亚斯的专注力不集中。对于教师的问题，也时常要教师反复再问才能回答在对应的问题上，有时是答非所问。访谈可知，亚斯对乘法分配律没有掌握，对运算定律混淆。

2．盲目模仿与拼凑，不思考问题的本质，缺乏思维的批判性。

亚斯在独立完成如5.7×9.9这样小数乘小数的乘法分配律变形题目，盲目地模仿例题，把两个小数都分成整数部分加小数部分，去括号也做错。尽管亚斯对自己做题方法没有把握，但也没想过去验算。错误如下图：

图2

同样，奕然在训练中遇到没有把握的题目也都是凭借印象盲目拼凑，访谈中发现，奕然知道简便运算结果是不改变的，也没有想过要对结果进行验算。错误题目如下图：

图3                               图4

图5

3.对数学材料的记忆功能异常薄弱，对某一模型清晰度不够，需要相当多的练习才能巩固[1]。

奕然在前两次共21题训练中都能根据例题正确解决a×b型题目，隔了一个星期后，没有例题参照，奕然会将接近整百或整十的数进行拆分，但不会写成乘法分配律左边形式（a+b）×c，而是错误的写成连乘的形式。错误如下图：

图6

通过访谈发现，奕然对a×b型题目的简便运算印象比较模糊，具体对话如下：

师：“你还记得我们之前做过这样类型的题目吗？”

奕然：“有做过，把101拆成100+1，后面不记得了。”

师：“你的计算结果3535是怎么来的？”

奕然：“我列竖式101×35计算出来的。”

4.对题目错误解法印象深刻，数学思维刻板。

奕然在第一次前测中，a×b类型题目错误如下图：

图7

在前两次共21题训练中都能根据例题正确解决a×b型题目，隔了一个星期后的巩固检测中对a×b型题目方法已经忘记，独立订正时用到前测时的错误方法。如下图：

图8                           图9

四、帮扶策略

1.多元表征乘法分配律，根据学生的认知类型进行区分，为学生提供适合的乘法分配律表征进行阅读学习。

单纯的模仿训练，隔一段时间学生容易遗忘，之前在脑海中对乘法分配律模型的错误建构又会重新提取。因此，要对乘法分配律进行多元表征，为学生提供适合其理解的乘法分配律表征模型，有利于学生对a×b型题目的牢固掌握。

多元表征是符号表征、语言表征、操作表征、情境表征、图形表征等外在表征形式的综合。研究中发现，亚斯通过阅读乘法分配律情境表征（买衣服生活情境）建构了乘法分配律的模型，在后面68题练习中只错了3题。阅读材料如下图：

图10

乘法分配律生活情境表征对奕然没有效果，一个星期后的巩固检测中奕然对a×b型题目方法已经忘记，并且还是不清楚什么是乘法分配律。后来，尝试着给奕然提供乘法分配律意义表征的阅读材料。阅读材料如下图：

图11

在访谈中，奕然能根据阅读材料从乘法意义的角度理解乘法分配律左右两边为什么相等，也明白自己盲目拼凑的错误，在后来的4次训练中计算方法全正确。

2.将学生错误解法与正确方法做成例题，通过对比来强化。

每个学生错误的地方不同，将错误变成一种资源，并让学生自己反思，有利于消除错误联系造成的错误，培养学困生思维的灵活性与批判性。第6次的辅导训练中，把上次两个学生的错题做成阅读例题9.9×54、25×4.4。 如下图

图12

亚斯和奕然在一个星期后的检测中，同类型的易错题都做对了。

3.由易到难，保证练习次数、题量与巩固时间。

训练题目要趁热打铁，最少一周两次，每次需要适量的题目，大约10道题，因为太多题目学困生会产生厌倦的心理情绪，太少题目又起不到巩固训练的作用。学生掌握后7天后要检测学生的巩固情况，亚斯和奕然共阅读学习9道例题，68道训练题。a×b型题目花费了一个月时间掌握巩固。

4.规范书写，养成检查习惯。

刘建军（2004）将小学生数学错误原因概况中的第6点：不良学习习惯的影响[2]。规范学生的书写，有助于帮助其养成静心学习的习惯，提高学习的专注力。奕然和亚斯的书写习惯很差，书写潦草、随意涂改，没有固定的草稿本。尤其是奕然，在训练中经常忘记写姓名，计算过程中忘记写小括号、忘记满十进一，口算错误，完成后从不检查。在跟踪训练中，对亚斯和奕然提出了书写规范，要用草稿本，并在草稿本上也要字迹工整，草稿本上交检查。亚斯和奕然的做题速度与正确律有所提高。

【参考文献】

[1]顾泠沅.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.10：45

[2]  郜舒竹.实践取向小学教师教育教程——数学教学基础[M].北京：教育科学出版社，2009.10：135