贝叶斯公式线上线下混合式教学初探

贝叶斯公式线上线下混合式教学初探

陈国玉  

（陆军炮兵防空兵学院  安徽 合肥 250031）

摘要：本文从课前、课中、课后三个方面对贝叶斯公式的设计进行探讨，利用耳熟能详的《狼来了》的小视频，引导学员分析孩子的可信度是如何下降的，通过层层提问，层层递进的方式引导学员进行探讨，即锻炼了学员分析问题，解决问题的能力，又对学员进行了课程思政，达到了立德树人，为战育人的目的。通过线上线下混合式教学，优化了课程内容设计，扩充了课堂容量，激发了学员学习的热情，更好的提升了课堂教学水平和人才培养质量。

关键词：贝叶斯公式；线上线下混合式教学；课程思政

中图分类号：G420   文献标识码A

基金项目：陆军炮兵防空兵学院2023年度科学研究项目（PFXY220101008）

一、引言

贝叶斯公式是概率论与数理统计里的一个非常重要的公式。它是在条件概率，乘法公式，全概率公式的基础上给出的计算复杂事件概率的最重要的公式。贝叶斯公式作为解决复杂概率问题的一个重要工具，是概率论教学中的一个重点和难点，同时又是贝叶斯统计的理论核心，以此为基础发展起来的贝叶斯估计、贝叶斯网络、贝叶斯分析、贝叶斯学习等理论在人工智能、数据挖掘、经济预测、医学诊断、质量监控等领域发挥着越来越重要的作用，因此学习和理解贝叶斯公式非常重要。

二、教学现状

1、学情分析

我们院的本科学员课程多，时间紧，缺乏随机思维，应用知识的解决实际问题的能力不足，学习方式比较单一，并且学员层次参差不齐，有的战士学员在大学曾经学过概率论课程，而有个别战士学员连高中数学都没学过，因此传统的课堂教学会出现有的学员吃不饱，有的学员跟不上的情形，不利于学员的发展。

2、教学目标

（１ ）知识目标 ：学员能够掌握贝叶斯公式的具体形式；会正确使用贝叶斯公式解决实际问题；理解贝叶斯公式的本质——条件概率的反问题；掌握先验概率与后验概率的关系。

（２ ）能力目标: 通过对“狼来了”的分析，引导学员积极主动探索贝叶斯公式的具体形式，培养学员分析问题和解决问题的能力；通过对“狼来了”问题的讲解，培养学员严密的逻辑推理能力和抽象思维能力，达到学员掌握运用数学符号语言的目的；通过不断的提问，引导学员自己计算孩子信任度是如何下降的，让学员学会用从贝叶斯公式出发去解决这个实际问题，提高学员运用所学知识去研究更为复杂问题的能力．从而理清先验概率和后验概率的关系。

（３ ）育人目标: 通过贝叶斯公式在生活中的应用，培养学员学以致用的意识，从而打消有些学员觉得学习无用的思想，端正他们的学习态度；通过揭示贝叶斯公式的本质及分析先验概率和后验概率的关系让学员进一步体会数学中的辩证思想；通过“狼来了”的故事让学生建立诚信模型，教育学员做人要讲诚信。

3、教学重点和难点

（１） 教学重点: 先验概率和后验概率的含义；贝叶斯公式的本质；正反概率问题的求解思路，培养学生的逆向思维能力。

（２ ）教学难点: 如何引导学生从反问题的角度出发得到贝叶斯公式；如何引导学员高效的理解先验概率和后验概率的本质，进而理解贝叶斯公式的本质；如何教会学生应用贝叶斯公式解决具体问题。

三、教学过程设计：

下面对贝叶斯公式这个内容，详细讲述线上线下混合式教学的实施过程：

课前：把准备好的教学资料上传至电子书包，提前一周发布预习任务清单：预习ppt和线上观看小视频《狼来了》，思考问题：（1）村民们对这个小孩的信任度是怎样逐渐下降的？（2）如何对孩子的可信度进行量化呢？

（3）什么是贝叶斯公式？它的产生背景是什么？

（4）什么时候使用贝叶斯公式? 如何使用贝叶斯公式?

课中：

1、 问题引入

通过重温“狼来了”简短视频，利用问题驱动式教学法引入问题：通过预习，你们找到如何利用概率论的知识说明孩子的可信度下降的量化方法了吗？激发学员的学习兴趣，引导学员积极思考问题，引导学员思考如何利用贝叶斯公式来量化放羊小孩可信度的变化过程？

２、抽象概括，引出公式

把上面解决问题的思想方法一般化、抽象化，就得到贝叶斯公式，综合使用条件概率公式、乘法公式、全概率公式就可以证明贝叶斯公式.深入剖析公式：尤其是公式中的两个重要的量，一是先验概率，在没有进一步信息（即不知道事件 是否发生）的条件下，研究者对划分中各个事件概率的理解和判断，该类数值不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料（主要是历史资料）计算得到的；二是后验概率，它是基于新的信息（即试验结果出现），对事件进行重新评估和调整后算出的发生概率，更接近实际情况下对的概率估计，这种修正可以一次一次的进行，其中量化的工具就是贝叶斯公式.后验概率的本质是条件概率的反问题，因此贝叶斯公式又称为逆概率公式，它是从先验概率 到后验概率 的转化公式，也是从条件概率 到 的转化公式，重点是要讲透先验概率和后验概率之间的转化。

3、公式来源探究

讲完贝叶斯公式之后，让学员根据预习情况介绍一下贝叶斯的生平事迹，教员进行补充，通过学员的讲解让大家更加全面的了解贝叶斯公式的发展历史，激发学员深入探究的学习兴趣.１７６３年由ＲｉｃｈａｒｄＰｒｉｃｅ（普 莱 斯）整理发表了贝叶 斯的成果《机遇理论中一个问题的解》，提出了一种归纳推理的理论，其中的“贝叶斯定理（或贝叶斯公式）”，可以看作最早的一种统计推断程序，后来的许多研究者将其发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯统计或者贝叶斯方法.贝叶斯统计和频率统计都服从 1933 年柯尔莫哥洛夫提出的概率公理体系，运用概率论知识进行其理论推导。先验分布的确定体现了贝叶斯统计的特色，使贝叶斯统计成为处理实际问题的简明有效的方法，对统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。面向实际，突出实效也是贝叶斯统计生命力之所在。通过介绍，加深了学员对贝叶斯公式的重要性的认识。

4、应用理论，联系实际——狼来了问题详解

首先让学员分组讨论如何利用贝叶斯公式计算小孩说谎后的可信度？再进行归纳总结：

（1）首先对问题进行分析，设出事件；

（2）根据实际问题做出合理假设，给出已知概率；

（3）建立狼来了的概率模型；

（4）利用公式计算孩子说一次谎后的可信度，并请学员解释此模型中什么是先验概率和后验概率；再次强调先验概率和后验概率这是使用贝叶斯公式的关键。

（5）对问题进行提升，请学员计算孩子第二次说谎后的可信度，说明贝叶斯公式的修正作用；

（6）给出连续四次说谎后孩子可信度的拟合图形，让学员可以直观的感受到孩子一次一次说谎后可信度下降的速度是很快的，并说明其中蕴涵的哲理，再次对学员进行诚信教育。

通过图形分析，我们深刻地体会到小孩说一次谎，还会有人相信他，但是已经产生了信任危机，一次又一次地说谎，就逐步丧失了村民对他的信任。借此例告诫学员诚实是人的根本，不要轻易欺骗别人，如果一个人习惯性说谎，就会降低别人对他的信任，最后会害人害己，铸成大错。

5、拓展应用

（1）提出问题，如果想修复孩子的可信度，需要连续多少次不说谎呢？这个问题可以留给学员分组讨论，课下思考，鼓励学员尝试利用matlab等软件进行计算，画图，并思考其中蕴含的做人做事的道理！要求学员课后把讨论的结果上传至爱课堂并进行点评。这一环节可以培养学员的逆向思维，提高学员利用知识解决实际问题的能力，可以启发学员思维的创新性，同时对诚信品格的养成也很有帮助。

（2）布置爱课堂线上限时任务；如何利用贝叶斯公式解释“烽火戏诸侯”和“一人传虚，十人传实”的生活谚语，在规定的时间内让学员进行分组讨论，把讨论结果上传至电子书包，每个小组选一名代表上讲台展示讨论结果。这一环节可以培养学员学习“用概率”的思想方法，培养学员快速计算意识、体会实用性和趣味性，拓展学员思维的局限性，激发学员全方位的思维训练。经实践检验，科学设置应用贝叶斯公式思考题的难度，将知识性和趣味性相结合，可以取得较好的教学效果。

课后：

布置任务，让学员思考：你们还知道在哪些具体领域会用到贝叶斯公式吗？是如何使用公式的？课下继续查阅资料了解贝叶斯公式的应用，并以小组为单位提交研究报告。同时指出贝叶斯理论的应用领域很广泛，在数据搜索、人工智能、疾病检测等众多领域都用到了这一思想。我国已故院士陈希孺在《数理统计简史》中的评价：“贝叶斯学派，占据了数理统计学这块领地的半壁江山”，可见贝叶斯公式对统学的影响之深。通过查阅资料，撰写研究报告，让学员加深对贝叶斯公式的认识。

通过这样的课程设计，通过线上线下结合的混合式教学，既提高了学员对公式的重要性的认识，加深了学员对公式的理解，提高了对公式的运用能力，同时对学员也进行了诚信的教育，所谓是“一箭双雕”。

本案例教学的效果：

本案例的教学设计已经经过了四个学期的教学实践．通过近四个学期的期末考试中贝叶斯公式题目学员的得分情况对比发现，新的教学设计更容易让学员掌握知识点．通过对本课程其他知识点相同的教学设计，学员的学习热情和综合素质得到了有效提升，成效显著．学员的抬头率、参与率明显提升，课堂气氛更加活跃，学习数学的积极性明显提高．

四、结语

在“互联网+”教育背景下，借助互联网技术，依托电子书包学习平台，贝叶斯公式所构建的线上线下混合式教学模式，是一次有效的尝试，它即保留了传统教学的优势，又突破了传统教学的束缚，激发了学员的学习兴趣学生自主学习的效果较好，参与度变高，提高了教学质量．通过案例分析自然导入贝叶斯公式，结合贝叶斯公式案例，揭示了贝叶斯公式本身蕴含的深刻的思想，帮助学员深刻理解先验概率与后验概率的相互转化．通过公式的应用及拓展，加深了学员对贝叶斯公式的理解与认识，使其能够掌握公式的实质．同时利用一个耳熟能详的故事对学员进行了诚信教育，达到了教书育人的效果。

参考文献：

［1］李国华． 贝叶斯公式的应用［J］． 牡丹江大学学报， 2011，20( 7) : 95 － 96．

［2］宇世航． 贝叶斯公式的教学方法［J］． 高师理科学刊，2011，31( 6) : 87 － 89．

［3］王君． 贝叶斯公式应用教学的一种新设计［J］． 新疆师范大学学报，2011，30( 4) : 71 － 74．

［4］刘罗华，汤琼． 工科院校大学数学的案例式教学探讨［pJ］． 湖南工业大学学报，2010，24( 2) : 80 － 82．

作者简介:陈国玉 ,陆军炮兵防空兵学院基础部副教授,联系电话:13866766583邮箱:gychen6583@126.com,通讯地址：安徽省合肥市蜀山区黄山路451号