关于教材中一道概率习题的多种解法及分析

关于教材中一道概率习题的多种解法及分析

朱清芳

洛阳师范学院数学科学学院

摘要：基于概率论与数理统计的实践教学活动，探讨教材中一道习题的求解方法，整理出参考答案以外的三种解法，并指出其中容易出错的地方。

引言

浙大版《概率论与数理统计》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，自1979年3月初版至今，已经发行近三十年，历经多年教学实践的检验，得到了国内广大院校和任课老师的认可，发行量为国内同类教材中最多的（1979年3月第1版，2022年11月已是第7次印刷）.在概率论与数理统计的教学实践中，发现学生对《概率论与数理统计》第五版配套参考书《学习辅导与习题选解》第17页第9题（即教材第26页第9题）的解法总是迷惑不解，容易出错。下面就该习题的解法逐一整理如下。

一 习题题目及配套参考书的解法

题目：从5双不同的鞋子中任取4只，问这四只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

解 :从5双不同的鞋子中任取4只.以表示事件“所取4双鞋子中至少有2只配成以上鞋子”，则表示“所取4只鞋子中无配对的”.先计算较为简便.以下按的不同求法，列出本题的3种解法，另外还给出一种直接求的解法.

解法(i) 考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的，自5双（10只）鞋子中任取4只共有种取法，.现在来求.第一只可以任意取，共有10中取法，第二只只能在剩下的9只中且除去与已取得第一只配对的8只鞋子中任取一只，共8种取法.同理第三只、第四只各取6种、4种取法，从而.故

于是

，

解法(ii) 从10只鞋子中任取4只，共有种取法，即.为求，先从5双鞋子中任取4双共有种取法，再自取出的每双鞋子中各取一只（在一双中取一只共有2种取法），共有种取法，即.故

.

解法（iii） 现在来求.先从5只左脚鞋子中任取只，，有取法，而剩下的只鞋子只能从（不能与上述所取的配对的）只右脚

鞋子只中选取，即对于每个固定的，有.故

.

解法（iv） 以表示事件“所取4只鞋子中恰能配成双”（），则，，故.因为为4只恰能配成2双，它可直接从5双鞋子中成双地取得，故.的算法是：先从5双中取1双，共有种取法，另外两只能从其他8只中取，共有种取法，不过这种取法中将成双的也算在内了，应去掉，从而.仍为解法(ii)中的种，故

二 其它解法

在配套答案（iv）中，计算的的方法是：先从5双中取1双，其它两只直接从剩下的8只鞋子中选取，然后去掉其中成双的。如果后面的两只鞋子一只一只地取，就可以得到如下解法.

解法（v）的算法是：先从5双中取1双，仍是种取法，第三只从剩下的8只中任取一只，共有种取法，第四只只能在剩下的7只中且除去与已取的第三只配对的6只鞋子中任取一只，共有种，第三、第四只鞋子的选取会有重复，应去掉. 从而.仍为解法（iv）中的种.仍为解法(ii)中的种，于是

将解法（i）和解法（ii）结合起来，还可以得到下述解法：

解法（vi） 类似解法（i），有次序地一只一只取鞋子.先求. 第一只可以任意取，共有，第二只在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋子中任取一只，共只取法，同理第三只、第四只各有、种取法，由于所取4只鞋子实际上不需要考虑顺序性，所以，仍为解法(ii)中的种，于是

.

解法（vii） 直接求.先从5双鞋子中任取一双（2只），共有种取法.第三、四只鞋子直接从剩下的8只任意选取，共有种取法，表示：任取4只鞋子至少两只配成一双的取法，只是在第一次取一双，后面两只也成双的情况下产生了重复，应减去。于是.仍为解法(ii)中的种，于是

三 上述解法分析

对于本文种给出的7种解法，学生最常用，最容易理解的是解法（i），比较常用的是解法（ii），最不常用的是解法（iii），至于解法（iv），通常是解成了解法（vi），比较容易出错的是解法（v）、解法（vi）和解法（vii）.

解法（v）中，学生在求时，一只一只选取第三只第四只鞋子，往往忽略了这种选取方法的重复性，从而忘记除以2！类似的思路也适用于解法（vi），一只一只取出4只鞋子，在考虑4只鞋子的选取方法时，也要注意选取的重复性，因此必须除以4！

国家自然科学基金项目(62072222)资助