一类音乐中的数学文化试题探究

一类音乐中的数学文化试题探究

孙景红

广东省深圳市盐田高级中学(518081)

音乐的音高、音色、节拍、乐音、乐曲、乐器等要素都与数学密切相关，通过数学，音乐可以升华为艺术.在近几年的高考试题以及各地的高考模拟试题中，以音乐为背景题目数不胜数，这些题目构思非常之巧妙，体现出新高考的“五育并举”的方针，也体现了新课改倡导学科融合的特点，本文从音乐与函数的视角，结合近年高考真题与模拟试题，剖析音乐与两个特殊函数，即音乐与数列、三角函数的密切联系，助力高考复习备考.

1、音乐与数列

例1 （哈尔滨市月联考）我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的个白键与个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音的频率正好是中音的倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（    ）         

A. B. C. D.

解析：可设从键到下一个键的频率分别为，易知数列为一个等比数列，设公比为，且，易知，又因为音的频率为，，设频率为的音为，其中且，则，将以及代入上式可算得，由图可知对应的音名为，选

例2 （·湖南高三月考）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在轴上，相邻两根弦间的距离为，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为，第（，第根弦表示与轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线交于点和，则（     ）（参考数据：）

A．B．C．D．

解析：易知，，，，，，，，则                                                   

得：

，而，从而得到，选.

例3 （·全国新课标II卷）如图，将钢琴上的个键依次记为，设，若，且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦.用这个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦个数之和为（   ）

A．B．C．D．

解法1：可以采用直接列举的方法，满足，且的共有个，分别是、、、、；同理，满足且的也有5个，分别是、、、、，因此能够组成的原位大三和弦与原位小三和弦个数之和为个，选.

解法2：可直接由乐理知识得到大三和弦共有个，小三和弦共有个，共个，如图.

2、音乐与三角函数

例4（·深圳市高二调研考）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中影响音的响度和音长，影响音的频率。平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是，令，则下列说法正确的有（    ）

A.是奇函数              B.是周期函数

C.的最大值为D.在上单调递增

解析：显然构成的每一项都是奇函数，因此为奇函数, 构成的每一项都是周期函数，正确；且的最小正周期分别为，显然是的一个周期，正确；由于，且以为周期，，在一个周期内，当时，，单调递增，时，，单调递减，，而为奇函数，其在的图像与上图像关于原点对称，从而，错；，，时，，，且，从而易得恒成立，因此正确；答案为.

例5  （·潍坊市期末统考）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为

A． B．

C．

D．

解析：显然图的函数的解析式为，频率为，由图的解析式可知其频率为，由于这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，而中的第二个函数的频率依次为，可知答案为.

以上高考题或者模拟题以钢琴十二平均律、古筝、乐理、纯音的表达为背景，通过音乐与数学相关的高考或者模拟题来体现二者之间联系，实际上除此之外，乐器的形构与指数型函数也有关系[1]，音乐与数学之间还有很多奇妙的联系等待我们去探索，也能看出适当了解一些音乐知识会对理解数学有一定的帮助！

[1] 郝飞，陈安东. 浅谈音乐与数学的密切关系[J].中学数学杂志，2011，5（256）: 66-67