思维导图引领下的空间垂直证明问题探索

思维导图引领下的空间垂直证明问题探索

杨世辉

云南省德宏州陇川县第一中学

【摘要】空间垂直问题作为培养普通高中学生直观想象核心素养的重要载体，既是学生学习最困难的部分，也是教师教学的难点之一。而思维导图作为一种层级式、符号结构化的直观工具，最接近人类思维规律，可以帮助学生理清思维障碍，顺利解决问题。高中数学教师在进行“利用几何法去证明空间垂直问题”的教学中，要主动利用思维导图引导学生打通思维障碍，理清解题思路。

【关键词】高中数学 思维导图 立体几何 垂直证明

立体几何作为培养普通高中学生直观想象核心素养的重要载体，既是高中数学的重要内容，也是高考的必考内容。而空间垂直证明问题作为立体几何的一个必考点，对于解决立体几何问题举足轻重。同时，立体几何垂直问题的证明承载着培养学生直观想象和数学逻辑两大核心素养的任务，既是学生学习最困难的部分，也是教师教学的难点之一。我们从多年的阅卷情况中发现，学生在空间垂直证明问题上的得分率较低，很多一线教师反映学生对空间垂直证明问题的存在严重的思维障碍，大部分学生也反映，对空间垂直证明问题很难理解，甚至花费大量的时间进行训练，结果还是收效甚微。思维导图通过一些层级式的关键词、符号结构去展现知识脉络，最符合人类的思维规律。因此，本文将探索在思维导图引领下进行空间垂直证明问题的教学（以几何法为例），希望对教学同仁有所启发。

一、利用思维导图理清知识脉络，给学生产生思维启示。

在本人主持的一项课题研究中发现，普通高中生利用几何法证明空间垂直问题的主要思维障碍是无法在纷繁复杂的基础知识中挑选合适的性质、定理去证明线线垂直或者线面垂直关系。简而言之，大部分学生能够熟背常见的基础知识，但是没有合理的思维方式能够将基础知识应用于实际问题中。这就好比用拿着无数钥匙一一去试一把符合条件的锁一样复杂而繁琐，久而久之学生就会产生学习立体几何的厌学情绪。

因此，我尝试利用思维导图的特性，引领学生逆向思考空间垂直的证明问题，它的好处在于根据需求去寻找条件，通过不断地重复“我要解决…，所以我需要…”，可以尽快理清思维脉络，达到解决问题的目的。通过一段时间的训练后，我们惊奇地发现，大部分学生都能够熟练地利用几何法去证明绝大部分空间垂直证明问题。

二、以教材开篇为例，层层深入彰显思维导图的魅力

我们在教材上直线与平面垂直的判定定理的教学中可以引入初步的思维导图，如下：

通过这个简单的初步思维导图，引导学生学会思考：要证明l⊥α，则先证明l与平面α内的两条直线m,n分别垂直。让学生初步掌握根据需求去找条件的思维方式。这样的思维导图简单明了，层次分明，学生容易掌握，并且他们乐于学习。

接下来我们通过一个简单的实际问题，让学生初尝利用思维导图思考问题的魅力：

如图，直线PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD是矩形，证明：CD⊥平面PAD.

从题目和图形上看，这仅仅是一个非常简单的线面垂直证明的问题，但是我们在测试的时候发现，边疆地区的大部分学生没有办法给出完整的证明过程，通过调查发现，学生能够根据题目条件，很快确定直线CD⊥AD，但是没有办法找到另外一个线线垂直的条件。奇怪的是这些没有办法证明另外一个线线垂直的同学，大部分都能熟记线面垂直的性质！在了解学生的基本情况之后，我们提出了该题的思维导图方式如下：

得到上面的思维导图后，我们逆向书写便得到了完整的证明过程。如下：

∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD

∵PA⊥平面ABCD，且CD在平面ABCD内，∴CD⊥PA

又∵PA,AD在平面PAD内，并且PA∩AD=A

∴CD⊥平面PAD

当我们和学生一起将思维导图写出来，并将证明过程完成之后，学生豁然开朗，并且我们通过调查发现，经过思维导图训练教学的学生比没有经过思维导图训练教学的学生在这个题目的满分率上要高很多。学生反馈，在这种思维导图引导下思考问题，能够很快理清思路，找到解决问题的突破口。

在历年高考题目的分析中我们发现，所有涉及到垂直证明的高考问题，都可以利用这种思维导图快速理清思路，在实验组与对比组的实验中也得出结论，经过思维导图训练的学生，解决问题的速度和准确度都要比对比组高出很多。另外，这种思维导图可以根据题目的复杂度进行延伸下去，对于初次接触几何法证明空间垂直问题的学生来说，思维导图引领下的思维方式无疑是一件利器。

通过我们团队为期半年的跟踪研究后得出，在思维导图引领下的空间垂直证明问题教学，能够激发学生对空间几何知识的学习兴趣，能够帮助学生有效突破利用几何法证明空间垂直问题的思维障碍，并且能够规范学生的解题过程和答题习惯，从根本上突破了立体几何的痛点、难点。因此，建议高中数学教师充分利用思维导图进行该节内容的教学，同时我们也可以利用思维导图带领学生进行章节知识的梳理，帮助学生巩固基础知识。