漫谈三角形的外心

漫谈三角形的外心

黄龙盛

江苏省兴化市陶庄中心校初中部

摘要：三角形的外心在《轴对称》和《圆》两章中都有涉及。外心与轴对称图形、三角形、圆等都有一定的知识联系，加上近年来比较热点的“用无刻度直尺画图”与之也联系甚密，成为初中数学考试中的高频考点，已引起数学教师的高度重视。在初中阶段，教学三角形的外心，必须抓住它们的本质和来源，注重灵活运用其他与之相关的数学知识和技能，采用变式的手段，加深学生的理解。

关键词：三角形；外心；漫谈

三角形的外心是三角形外接圆的圆心，三角形的外心是在《圆》这一章介绍给学生的，其实在《轴对称》这一章已经出现，只是当时没有告诉学生这个点的名称，这同时也显示了外心概念在教材中的承上启下。

一、确定三角形的外心

依据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，可以作出三角形的外心。

1.用尺规作图确定外心

两条直线相交只有一个交点。作三角形的外心时，其实不需要作出三边的垂直平分线，只要作两边的垂直平分线就可以找到外心。如图（1），在△ABC中,作BC的垂直平分线PQ，作AB的垂直平分线MN,PQ与MN交于点O，则点O就是△ABC的外心。

图（1）

2.借助网格图找外心和内心

网格图是由若干个边长为1的正方形拼成的，利用正方形的四条边都相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分等性质，结合外心的概念和性质，可以只用直尺确定网格图中三角形的外心。

①利用作两边的垂直平分线的原理作出外心

例1.如图（2），△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)、B(1，3)、C(3，3)，仅用无刻度的直尺作出外心的位置。外心的坐标为。

图（2）

分析：BC与x轴平行，作垂直平分线较容易，就是直线x=2，A、B两点的连线不与坐标轴平行，但A(0，2)、B(1，3)两点恰好在一个网格正方形的对角上，过另两个对角的直线就是线段AB的垂直平分线，用无刻度的直尺画出来，两条直线交于点O，则O点就是外心，其坐标为（2,1）.

例2.如图（3），△ABC的顶点坐标分别为A(0，3)、B(1，0)、C(3，2)，仅用无刻度的直尺作出外心的位置。

                  图（3）

分析：B(1，0)、C(3，2)两点恰好在一个网格正方形的对角上，过另两个对角顶点P、Q的直线就是线段BC的垂直平分线，用无刻度的直尺画出来。为了用无刻度的直尺画出线段AB的垂直平分线，笔者进行了探究：ⅰ.作出以AB为边长的正方形ABEF；ⅱ.依据A、B是一个矩形对角的两个顶点，连接该矩形的另两个顶点，与AB的交点就是AB的中点N；ⅲ.作出EF的中点M。直线MN就是线段AB的垂直平分线。直线PQ与直线MN的交点D就是△ABC的外心。

本题中，作出以AB为对角线的正方形，连接另两个对角顶点就能得到线段AB的垂直平分线MN。然后就可以画出△ABC的外心D的位置。

②利用外心到三角形三个顶点的距离相等作出外心

例3.如图（4），△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)、B(7，3)、C(3，5)。在图中找出△ABC外心D的位置。

分析：从图中找，有没有一个格点到三角形三个顶点的距离相等，通过探究，可以发现外心D的坐标是（4,2），它到A、B、C三个顶点的距离都是。事实上，当连接AC、BC、AB时，AC=2，BC=2,AB=

2.根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，外心是斜边的中点，外心D的坐标是（4,2）。

图（4）

二、求三角形外接圆的半径

1.直角三角形

直角三角形的外心是斜边的中点，所以直角三角形的外接圆的半径就是斜边的一半。

2.等腰三角形

等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的外心在其顶角的平分线上。构造直角三角形，利用勾股定理可求出外接圆的半径。

例4.如图（5），等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=

10cm。求△ABC外接圆的半径。

                  图（5）

分析：等腰三角形外心在顶角平分线上，作出顶角平分线AD，则AD是等腰△ABC底边BC的中线，同时也是高。则BD=5cm，可算出AD==

=12cm。设外心为O,外接圆半径为r，则OA=OB=r,OD=

12-r.在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，所以（12-r）2+52=r2，解得r=.

3.一般三角形

对于一般的三角形，求其外接圆半径时，先画出其外接圆，如图（6）.然后利用直径所对的圆周角是直角，画出直径，构造直角三角形。将原三角形一边和它的对角转化为直角三角形的一对边和角，利用三角函数求外接圆的半径。

图（6）

例5.如图（6），已知：△ABC中，AB=13，BC=15，AC=14.求△ABC外接圆的半径。

分析：画△ABC的外接圆，作出直径BD，连接CD。则∠BCD=90º，∠A=∠D。BD=2r=。下面探讨sinD的值。作BE⊥AC于E。设AE=x,则CE=14-x。由勾股定理知：AB2-AE2=BE2，CB2-CE2=BE

2，∴AB2-AE2=CB2-CE2。132-x2=152-(14-x)2，解得x=5，∴sinD=sinA=。∴2r==.∴r=.

本题求出AE=5，利用勾股定理求出BE=12，再利用△ABE∽△DBC,得到,∴，解得r=。也可以。