聚焦初中数学核心概念，探究代几综合解题思路

聚焦初中数学核心概念，探究代几综合解题思路

胡海妹

佛山市顺德区北滘镇君兰中学   528311

摘要：本文对一道以一次函数和反比例函数为背景的代几综合题进行解法探究与评析，追根溯源与推广。数学解题一般分四阶段：审题，拟定解题方案，执行解题方案，反思，其中审题过程是关键，全文主要呈现审题过程，包括题中涉及的数学基础概念，各条件之间的联系，结合要解决的问题应用集中思维进行解题，达到提高分析问题和解决问题能力这一目的，培养学生的数学核心概念和常用数学思想方法。

关键词：探究 审题 概念 集中

试题呈现：如图，点Ａ是直线ｙ＝ｘ与反比例函数图象的交点，点Ｂ是直线与反比例函数图象的交点，ＡＢ∥ｘ轴，△ＡＢＯ的面积为５．

（１）求和的值；

（２）在反比例函数的图象上是否存在点Ｃ，使得△ＡＣＯ的面积与△ＡＢＯ的面积相等？如果存在，请求出点Ｃ的坐标，如果不存在，请说明理由；

（３）将△ＡＢＯ绕点Ｂ旋转得到△Ａ＇ＢＯ＇，当点Ａ＇正好落在ｙ轴上时，求ＯＯ＇的长度．

1、试题评析与追根溯源：

评析：本题以一次函数与反比例函数为背景，在函数图象的交点的基础上引进三角形，进而产生了三角的面积问题和图形的旋转问题。考查的主要核心数学概念有平面直角坐标系、函数图象、三角形的面积和图形的旋转、函数与方程、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等。涉及到的数学核心思想主要有：转化与化归、数形结合、分类讨论，待定系数法、方程等。试题第（1）问求函数表达式，第（2）问引入动点问题，第（3）问是图形的变换，同时涉及解直角三角形，相相似三角形等数学概念。试题起点低，但梯度明显，不仅考查学生的数学概念，也能够较好地考查学生的思维能力和综合分析能力，是一道较好的代几综合题。在知识点整合上很经典，非常有探索研究的价值。

研究本题和教材（北师大版九年级上册数学书第六章）可以发现，其题根在课本里有如下三处：

例1:P155想一想：在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为.与有什么关系？为什么？

例2:P158-159如图6-9,正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为.

(1)分别写出这两个函数的表达式;

(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?

例3:P160第3题:已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是(1,3).

写出这两个函数的表达式,并确定两个函数图象的另一个交点的坐标;

(1)画出草图,并据此写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围.[1]

例2与例3实为一题,改变数据而已,例1为坐标与矩形面积问题,也可转化为三角形面积问题,本文所研究试题的第(1)问实为三个课本题的综合，源于课本，却高于课本．因此在数学教学中常常提出的＂回归课本＂的教学思想。我认为不能简单地以回归课本以习题作为练习，需要教师在课本习题的基础上进行变式，研究试题背景和数学本质的内在联系，深入挖掘数学知识和思想方法，改编试题和创新变式，多层探究和整合，以解题为载体，培养学生的数学核心素养．

２.由数学概念导向解题思路：

２.１第（1）问解题基本概念和思路：

数学概念1：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．[2]图象概念的外延即点在图象上，就是点的横坐标ｘ和纵坐标ｙ满足函数的表达式，反之成立．

因此解决本此问的思想方法是待定系数法求得的值．因此应先结合条件先求得Ａ，Ｂ两点的坐标．由ＡＢ∥ｘ轴得点Ａ和点Ｂ有相同的纵坐标，因此可设它们的纵坐标为ａ，结合点Ａ在直线ｙ＝ｘ的图象上可将Ａ表示为，点Ｂ表示为（，并求得ＡＢ＝．由题意△ＡＢＯ的面积等于５，根据三角形面积公式：底×高÷2，得：，解得．因为点Ａ在第一象限，因此．从而求出点Ａ（２，２），Ｂ（－３，２），用待定系数法求得．

解决第（1）问关键是结合线段特征和函数关系式，合理设出点的坐标表示线段长，借用已知三角形的面积构造方程，求解方程得以解决问题．解决此问也可基于由例1即教材P155“做一做”的解题经验，根据S△ABO=S△EBO+S△EAO也可列方程求解。

2.2第（２）问基本概念及思路：

数学概念2：三角形的面积计算公式为：底×高÷2.我们理解面积的计算公式，拓展延伸到三角形的面积比较问题：a.等底等高的两个三角形面积相等；b.两个等底的三角形的面积比等于对应高的比；c.等高的两个三角形面积比等于对应底边的比。

数学概念3：平行线之间的距离处处相等。[2]

思路1：用代数方法解决图形问题

由第（2）问的条件在反比例函数的图象上是否存在点C，使得△ACO的面积与△ABO的面积相等，观察图形发现△ACO与△ABO有共同的底边A，因此只需等高就可以解决问题，即点B和点C到直线AO的距离相等的点同时在反比例函数

的图象上就可以解决问题了，。到AO的距离等于B到AO的距离的点C应该在直线AO的两侧的平行线上，根据波利亚提出的双轨迹解题模型得知两条平行线与函数的图象的交点就是满足条件的点C。因此需要分类讨论求得存在两个满足条件的点C 。基于以上的分析，详解如下：

如图1，过点B作BC1∥OA，交函数的图象于点C1，由轴对称得过点C2。因为直线平行可得直线的斜率相等，设直线BC为，把B(-3,2)代入关系式得：，解得b=5.

联立关系式得方程组，

解得（舍去）．

所以点Ｃ．

根据双曲线的对称性可得满足条件的另一个点Ｃ为．

思路2：构建方程求点的坐标

此问属于存在性问题．一般情况下存在性问题的解题策略是先假设存在这样的点满足题设要求．构造图形，基于数学概念和已知条件找到解题切入口，因此可先假设存在点C满足条件。

基于数学概念2和数学概念1，结合题目△ABO的面积等于5，可以考虑用三个顶点的坐标将△ＡＣＯ的面积表示出来，构造方程解方程求得C点的坐标．但学生要表达△ACO的面积并不容易，可以采用转换思想：化一般化为特殊的解题方法，这是数学中常用的解题策略，也是常见的数学研究方法。即将三角形的面积转化为特殊图形的面积求差，或是转换成其他图形面积的和差关系。详细过程如下：

△ＡＣＯ的面积表示方法一：如图2，，从而得到方程，解方程得：（舍去负数）。把c1的值代入反比例函数的关系式得，所以点Ｃ1．

根据双曲线的对称性可得满足条件的另一个点Ｃ2为．

△ＡＣＯ的面积表示方法二：如图3，延长ＡＣ交ｙ轴于点Ｆ，．解题过程应先用点Ｃ和点Ａ表示出直线ＡＣ的表达式，再求出直线与ｙ轴的交点Ｆ，计算量较大，但这也不失为求面积的一种好方法，将一般的三角形面积转化为特殊三角形面积的差，这在中考考题中也是较常见的方法之一．

２.３第（3）问基本概念及思路：

数学概念4：把一个平面图形绕着平面人某点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。概念外延数学本质：所有旋转角度相等，对应点到旋转中心的距离相等。[2]

数学概念5：三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似；

概念外延：相似三角形的判定与性质。[1]

数学概念6：锐角三角形函数：如图4，

在Rt△ABC中，，.[1]

概念本质及外延：对于锐角A的每一个确定值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数，同样地，cosA也是∠A的函数。

分析：从第（1）（2）问已经求出了△ABO的三个顶点坐标，可以通过构造直角三角形计算三边长度，同时基于数学概念5，因为不确定△ABO是顺时针旋转还是逆时针旋转，所以此问需要分类讨论点A的对应点的位置。如图5，观察AB⊥y轴，，由等腰三角形的性质可得旋转角.因此得△≌△，因此两个位置所得的。具体求的思路如下：

思路1：应用相似三角形求线段长

基于数学概念5 如图6,由已知条件△ABO绕点旋转得到△ ，可以得到旋转角，且，由相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到△ABO∽△，题中由A(2，2），B(-3,2)可以求得AB=5，BE=3，点恰好落在y轴上可得Rt△，应用勾股定理计算得。进一步分析图形，在Rt△中可求得，在Rt△BOE中可求得BO=.因为△ABO∽△，应用对应边成比例得解得.

思路2：应用勾股定理和三角函数求线段长

与思路1相同可得到。观察图形以与边构成了3，4，5的直角三角形，因此可求得。如图7，那么同样以OB与为元素，添加辅助线⊥OB，构造两个直角三角形，结合数学概念7得到：。

在Ｒｔ△Ａ＇ＢＥ中，，求得ＧＯ＝，应用勾股定理

解Ｒｔ△ＯＯ＇Ｇ，求得斜边．

3、拓展研究

变式训练可以培养学生综合运用知识的能力，有助于拓展思维，激发学生的学习兴趣，让学生觉得数学真好玩，从而提高学习和思考的积极性。变式的方法方式是多种多样的，每一种变式方法其实了都从不同的角度训练学习的思维（多解归一思维、互逆思维等）。结合近常见中考题，本题主要从以下三个维度进行变式：

3.1条件不变，提出新的新问题：①在函数的图象上是否存在点C，使得△AOC的面积是△ABO面积的一半？如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由。②将△ABO绕点B旋转得到△，当点恰好落在y轴上时，求△的面积。

3.2改变条件，保留问题：将条件：直线改为，△ＡＢＯ的面积为３，其它条件不变，解决原题中的问题（１）（２）（3）。

3.3改变条件，改变问题：如图8，一次函数y=x的图象与抛物线交于点A，AB∥x轴，且△ABO的面积为5.

(1)求二次函数的表达式；

(2)抛物线上是否存在点C，使得△AOC的面积与△ABO的面积相等，如果存在，求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由。

(3)将△ＡＢＯ绕点Ｂ旋转得到△Ａ＇ＢＯ＇，当点Ａ＇正好落在ｙ轴上时，求ＯＯ＇的长度．

4、解题反思

解题反思的意义在于通过回顾解题过程，重新审查结果和导致结果的方法路径，能使学生巩固知识，和领悟其中的数学思想方法，提高解题能力。

解题过程既涵盖基本数学概念，也离不开数学思想方法的应用。本题涉及的数学思想方法主要有：数形结合思想，方程与函数思想，转化与化归思想，分类讨论思想等．

本题涉及了常见解题方法与策略：待定系数法求表达式，联立关系式求函数交点，公式法或是割补法求三角形面积．化一般为特殊的解题策略，同时遇到存在性问题的解题策略是先假设存在再进行推理计算解决问题的策略．通过解答本题，巩固了学生相关的基础知识，训练了学生的分析能力和解决问题的能力，经历了从多种维度解决问题的思考过程，培养学生思维的灵活性，同时渗透数学抽象、符号意识，空间观念，几何直观，运算能力，逻辑推理等核心素养．

5.教与学的反思：

G•波利亚曾经提出一个比喻，指出仅有材料不足以盖一幢房子，但不收集必需的材料就盖不了一幢房子。求解数学题目所需要的材料是我们以前所获得的数学知识中某些与之有关的内容。[3]因此在审题过程中我们需要从题目条件中去关联到相关的知识，逐个条件去分析基本的数学概念，也要将每个条件之间的联系找出来。这样才能收集到更多的材料为解题服务。解题教学不是简单的解题答案的呈现，应该是解题思维的呈现。解题教学应该引导学生如何收集相关的数学知识，给学生示范如何结合条件收集相关的数学知识。数学概念是数学的一种思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是这些定理、法则、公式的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论和空间想象能力的前提[4]。本文以重要数学概念作为解题的前提和思考，提出教与学中注意的几点建议：

5.1重视概念教学的形成、发展，构建系统的知识体系，形成基础思维。解题过程中所列的数学概念只是涉及的主要基础概念，只有学生构建了自己的概念体系，才能在此基础上提升分析能力和解决问题的能力。数学概念既是知识工具，也是思考方式。

5.2教学中重视理解数学概念的本质和外延，可以有效提高解题能力。所有数学题目的题设，都是在数学概念的基础上，用文字语文和数学符号呈现，审题过程中应训练学生的发散思维，对题中所涉及的概念名词， 能够关联数学概念的内涵和外延，才能应用集中思维解决问题。

5.3教学解法分析应呈现基础数学概念和思维过程。从概念中培养亲新课程标准中提出的十大数学核心概念，在思维过程中培养重要的数学思想方法，提升数学核心素养。

结束语：谁也无法教会我们解答所有题目的方法。通过有限道题目的学习来领悟那种解无数道题目的数学机智，才是最重要的[5]。审题过程中能够基于数学的基础概念，进行收集相关的知识与解题经验，是完成解题方案的第一步，也是最重要的一步，与此相关的解题技巧才能更好地辅助完成解题，提高解题能力，因此解题技巧同样具有学习和研究的价值。

参考文献：

[1]马复.义务教育教科书数学九年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2020

[2]马复.义务教育教科书数学八年级上册，下册[M].北京：北京师范大学出版社，2021

[3]（美）G•波利亚著；涂泓 冯承天译.怎样解题—数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2018.8

[4]马复 凌晓牧 新课标解析与教学指导初中数学[M]，北京师范大学出版社，2021

[5]（美）乔治•波利亚著；刘景麟 曹之江 邹清莲译.数学的发现[M].北京：科学出版社，2006