例谈二次函数中的最值求解策略

例谈二次函数中的最值求解策略

孟姗姗

重庆市巴川中学校 266400

[摘要]二次函数作为函数知识的核心部分，是初中数学的重点与难点之一，其中求二次函数的最值问题是初中学生的一个难点。在中考数学中，关于二次函数的最值问题是以压轴题的形式存在，学生的得分率不高。因此，本文主要针对求解二次函数中的最值，进行举例探究。

[关键词]二次函数；最值；求解

  初中数学中的最值问题主要分为最大值问题和最小值问题，本文主要从求解二次函数中的最大值与最小值两方面进行举例探究。

一．求二次函数中的最大值问题

下面将通过“竖分法”，“切线法”求二次函数中的最大值问题。

例1：如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点,抛物线的顶点是点D,连接AD。在线段AD上方抛物线上是否存在点E，使得的最大？求的最大值。

（图1）         （图2）           （图3）           （图4）

下面将从两方面进行最大值的解法探究：

（一）利用“竖分法”求最大值

解法探究：如图2，作EF//轴交AD于F,根据题意，设点，则“竖分线段”，因为是关于x的开口向下的二次函数，所以当时，最大值=1.

利用“竖分法”求最大值就是将要求的部分（即面积，线段或周长等）用二次函数表示出来，再利用配方法或顶点坐标公式就可以求出所要求的最值。本例题也可以做如下变式练习：

例题变式：如图3，过点E作交AD于点G，分别求EG，,的最大值。

解法探究：求EG最大值时，可以利用,将EG转化成,再利用“竖分线段”EF来计算最值；同理，求,的最大值时，利用，可以将FG转化成，则,，从而转化成“竖分线段”EF来计算最值。

综上所述，在求与二次函数有关的线段，周长，面积等的最大值问题时，通常都可以用“竖分法”来其求最大值。

（二）利用“切线法”求最大值

解法探究：如图3，由AD线段是已知线段及三角形的面积公式可知，求的最大值可以转化成求点E到线段AD的距离最大问题来解决，再利用平行线间的距离处处相等，继而可以转化成将直线AD向上平移到与抛物线相切的位置时（如图4），切点E到直线AD的距离最大。此时可以设切线解析式为，联立得，由相切可知两个函数只有一个交点，即由求根公式得，即当时，点E到直线AD的距离最大，三角形AED的面积也就最大，从而算得点E（-2，3），再利用点到直线的距离公式计算出高，从而算的三角形面积的最大值。同时也可以利用作“竖分线段”EF，来计算三角形面积的最大值。

通过对以上两种常用方法的探究，我们发现，在计算三角形面积最大值时，利用“竖分法”比较方便，在题目中不要求计算最大值时，只需要计算最大值时，点的坐标的时候，利用“切线法”来计算点的坐标，就可以大大减少计算量，也可以大大提高学生的做题速度和准确率。

二．求二次函数中的最小值问题

下面将从与线段有关的最小值问题的解法进行探究，主要分为两方面：（1）利用“两点之间线段最小”求最小值；（2）利用“点到直线的距离最小”求最小值。

（一）利用“两点之间，线段最短”求最小值

1.“两定一动”问题

例2：如图5，抛物线与轴交于点，与轴交于点,在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

（图5）                 （图6）      

解法探究：如图5，,因为点B,C是已知点，点Q是动点，简称“两定一动”求最值，因此要求的周长最小值，即求的最小值。如图6，由点A,B关于对称轴对称可知，QA=QB,即求的最小值，再利用“两点之间，线段最短”，连接AC,与对称轴的交点即为所求的点Q。

2.“两动一定”问题

变式1：如图7，抛物线与轴交于点，与轴交于点,抛物线的顶点是D，在AD上是否存在点Q，在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P,Q的坐标，若不存在，请说明理由。

(图7)                      (图8)                   (图9)

解法探究：如图7，由题意知中有一个定点C,两个动点P,Q,简称“两动一定”求最值。作点C关于AD的对称点，作点C关于x轴的对称点，则,即将转化成点到点两点之间的距离最短问题，因此直接连接两点与AD的交点即为所要求的Q点，与x轴的交点即为所要求的点P。

3.“两动两定”问题

变式2：如图8，抛物线与轴交于点，与轴交于点,抛物线的顶点是点D,连接AD，点M,N为AD上两个动点，且满足MN=1,请直接写出的最小值。

解法探究：如图8，因为MN=3，所以要求的最小值，即求的最小值，简称“造桥选址问题”。如图9，先作点C关于AD的对称点，再将点沿着直线AD方向向下平移1个单位到点,此时四边形为平行四边形，则,,即求点到点B的最短路径，利用两点之间线段最短即可。连接交AD于点M,再将点M沿着直线AD向上移动1个单位即得到点N。

（二）利用“点到直线的距离最短”求最小值

例3：如图10，抛物线与轴交于点，与轴交于点,抛物线的顶点是点D,连接AD，点E是线段AD上方抛物线上一动点，作EF//轴交AD于F，点Q为x轴上一动点，当EF取最大值时，请直接写出的最小值。

(图10)                   (图11)               

解法探究：如图10，当EF取最大值时点F是固定的点，要求的最小值，类比例2及变式，应该先将前面的系数化1。如图11，要将进行转化，过O点作一条直线l,过点Q作交于点P,要满足，即要让直线l与x轴夹角为即可。此时，,要FQ+QP最小，一方面要满足点F,P,Q三点共线，另一方面也要满足,因此只需要过点F作直线l的垂线，交y轴于点Q,交直线l于点P，此时的最小值=FP。

变式：如图11，抛物线与轴交于点，与轴交于点,抛物线的顶点是点D,连接AD，在AD上有一动点M，在x轴上有一动点N，请直接写出的最小值。

   (图12)              (图13)

解法探究：如图13，先作点C关于AD的对称点,再将进行转化，过O点作一条直线l,过点N作交于点K,要满足即可。此时，,因此只需要过点作直线l的垂线，交AD于点M,交x轴于点N，此时的最小值=。

  通过对二次函数中最值问题的研究，我们不难发现，解决各种最值问题都存在在各自的几何模型，只要善于从复杂的几何问题中找到其中隐藏的几何模型，这样解决问题就可以得心应手了。

参考文献：

[1]梁淮森.对一道函数最值问题的深入研究[J].上海中学数学；2013年11期；

[2]李维春.由一道简单的最值问题引发的思考[J].中学生数理化（学研版）；

2014年02期；

[3]朱美玉.浅析初中数学中的最值问题[J].理科考试研究；2014年04期.