极限思维在高中数学教学中的应用

极限思维在高中数学教学中的应用

王少峰

陕西省西安市周至县周至中学

摘要：极限思维是一种突破传统思维模式的创新思维方式，对于培养学生的创新能力和解决问题的能力具有重要意义。在高中数学教学中运用极限思维能够激发学生的学习兴趣和主动性，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。因此，研究和应用极限思维在高中数学教学中具有重要的理论和实践价值。基于此，本文章对极限思维在高中数学教学中的应用进行探讨，以供相关从业人员参考。

关键词：极限思维；高中数学；应用

引言

数学是一门既抽象又具体的学科，在高中阶段学生开始接触更加深入的数学概念和定理。为了帮助学生更好地理解和应用这些知识，教师需要采用一种有效的教学方法。极限思维作为一种重要的数学思维方式，有着广泛的应用价值，它能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，对学习高中数学具有重要意义。

一、极限思维的基本原理

极限思维认为随着自变量逐渐趋近某个特定值，函数或序列的值也会相应地趋近某个确定的值。这种趋近性是极限思维的基础，通过将自变量无限逼近某个值，可以得出关于函数或序列性质的重要结论。极限思维接受无穷作为一种合理的数学概念，并通过对无穷过程的研究来推导出重要的数学结论。极限思维将解决数学问题的关键看作是找到更接近准确解的近似值。通过分析问题的局部性质，将复杂的数学问题简化为易于处理的近似形式，从而获得问题的解析结果。极限思维的基本原理是通过将变量趋近于某个特定值，探究函数或序列的性质，并利用趋近性、无穷性、近似性和连续性来解决数学问题，这种思维方式在高中数学教学中具有重要的应用价值。

二、极限思维在高中数学教学中的应用

（一）极限思维在数学概念的应用

在高中数学教学中极限思维被广泛运用于数学概念的教学和理解，通过引导学生运用极限思维来探究和理解数学概念的本质，能够帮助学生深入理解抽象的数学概念。在分析数列的收敛性时，学生可以通过极限思维来推导数列的通项式，从而找到数列的极限。通过极限思维，学生可以将问题转化为极限问题，并运用极限的性质和计算方法来求解。在研究函数的极值时，学生可以通过极限思维将函数的导数定义与极限联系起来，从而利用极限的性质解决求解函数的极值的问题。极限思维在数学概念的应用中，不仅帮助学生深入理解数学概念的本质，还能够提高学生解决复杂数学问题的能力。通过培养学生的极限思维，可以使他们对数学的理解更加深入和透彻。

（二）极限思想在数列公式的应用

在高中数学教学中极限思想经常应用于数列公式的推导和验证，通过引导学生运用极限思想，可以帮助他们理解数列的演化特点和性质，并能够更准确地找到数列通项公式。极限思想能够帮助学生分析数列的递推关系，并通过极限的定义和性质来证明数列的收敛性。通过极限思想，学生能够找到逐渐接近一个稳定值的数列项，从而推导出该数列的极限。在研究等差数列的极限时，学生可以运用极限思想来推导出数列的通项公式。通过将数列的极限问题转化为极限计算问题，学生可以应用极限的性质和计算方法来求解数列极限。当学生需要求解一个复杂数列的极限时，他们可以运用极限思想将该数列转化为一个简单和已知的数列，从而利用已知数列的极限解决原始数列的极限问题。

（三）极限思想在几何题目的应用

在求解曲线围成的封闭图形的面积时，可以运用极限思想将该封闭图形逼近为很多个简单的几何图形，进而分别求解这些简单图形的面积并进行极限计算，最终得到曲线围成的封闭图形的面积。通过运用极限思想可以引导学生推导和利用极限的定义和性质来求解几何图形的极值问题，在求解曲线的最大包围矩形的面积问题时，可以通过极限思想将该矩形逐渐逼近为不断缩小的矩形，从而利用极限的性质来找到使得面积最大的矩形。在求解物体在不断接近某一点或者形状时的极限问题时，可以通过极限思想将该物体逼近为一系列趋近于此点或形状的几何图形，并通过极限的定义和计算方法来求解。

举例说明，以“求解圆的周长问题”为例，设一个半径为r的圆，现要求证圆的周长公式C=2πr。我们将圆分成n个等分的小弧段，其中每段的弧度为Δθ。显然，当n趋向无穷大时，每个小弧段的长度趋近于0，则整个圆的周长可以近似看成n个小弧段的总和。然后我们可以将每个小弧段近似为一条直线段，其长度可以表示为Δs=rΔθ。因此，整个圆的周长可以表示为：C≈nΔs=nrΔθ，当n趋向无穷大时，Δθ趋近于0，则nrΔθ趋近于2πr。那么，我们可以得到圆的周长公式C=2πr。这个例子中通过极限思想将圆的周长转化为无数个小弧段的和，然后利用极限的定义来近似计算，最终得到了圆的周长公式。

（四）极限思维在抛物线中的应用

抛物线是高中数学中常见的曲线之一，它的研究离不开极限思维的应用。通过运用极限思维可以深入理解抛物线的性质和特点，在研究抛物线的顶点时，学生可以通过求函数极限，推导出抛物线顶点的坐标，并根据极限性质解释其唯一性。通过极限思维可以求解抛物线与直线的交点坐标，进而研究抛物线与直线的位置关系和相交情况，类似地利用极限思维也可以求解抛物线与其他曲线的交点问题。通过运用极限思维，可以推导出抛物线上任意一点处的切线方程，并利用极限的性质解决切线问题。在求解抛物线的凹凸性问题时，可以运用极限思维来推导出抛物线的凹凸性条件，并结合二阶导数运算来进行判定。

结束语

总之，极限思维在提高学生数学素养和解决实际问题中起到了重要的作用，在教学实践中教师应该积极运用极限思维，并结合具体的教学内容和学生的实际情况，设计和组织相关的教学活动。通过不断地引入极限思维，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。

参考文献

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