巧用“极限”，搭好初、高等数学链接的桥梁

巧用“极限”，搭好初、高等数学链接的桥梁

袁琼

徐州经济技术开发区高级中学

摘要：在高中阶段，极限思想是解决与函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等有关问题的重要方法，也是作为后续学习高等数学中函数的连续、可导、定积分、级数的敛散性等概念的基础.然而，在当前的高中数学课堂中一些教师对极限思想的教学不够重视，没有挖掘出极限思想中所蕴含的教育价值，导致学生对极限思想的应用意识薄弱. 本文在理论研究的基础上，一方面，通过列举数学教材中的几个具体实例，论证了极限思想对学生学习数学以及未来发展的重要意义.另一方面，通过相关的调查和师生访谈，了解了当前高中数学对极限思想的教学现状，在此基础上提出了关于极限思想教学的几条建议.

关键词:极限思想，教材实例，教学现状，教学建议

“极限”的思想由来已久，春秋战国时期庄子就对极限有了初步的思考，提出了“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的论断，再到公元3世纪，刘徽在注释《九章算术》时提出了有名的“割圆术”借用多边形的面积近似圆的面积，这都是极限思想的雏形.

其实学生早在小学阶段的学习中，就已经接触到了“极限”.例如，在学习“直线和射线的概念”时，学生会学习“直线两端没有端点，并且可以无限延伸;而射线是一端有端点，另一端可以无限延伸”，这里的“无限延伸”使学生体会到一种从有限到无限的几何直观;再比如，在学习“循环小数的概念”时，教师一般会提出这样一个问题: 0...9..... 和1谁大谁小”，由于0..9......的小数部分有无数多个9，于是它最终会无限地趋近于1,所以0...9....约等于1, 这里用到的“无限趋近”也是极限思想的重要内核.而在小学阶段学习的众多知识当中，把极限思想应用的淋漓尽致的当属“圆的面积公式的推导”:由于圆的面积公式是学生从未接触过的一个知识板块，在教学过程中教师一般会引导学生将一个圆形卡片平均分成八等份、十六等份、三十二等.....然后对分割出的这些小扇形进行拼接，观察可以发现，随着分割的份数越来越多，拼出来的图形越来越接近于长方形，从而将求圆的面积转化为求长方形的面积.在这个推导的过程中用到的“化圆为方”“以直代曲”正是体现了极限思想的本质.

到了高中阶段，应用极限思想的案例更为广泛.比如苏教版必修一第四章“指数与指数幂的运算”这一节，在本节结尾处，提出了无理数指数幂这一概念，书中以“”是否有意义来引入，借助计算器列表如下：

可以发现随着的取值越来越接近于，的值越来越接近于一个实数，把这个实数记为，这里就借助了极限的思想将有理指数幂的运算性质推广到了无理指数幂.再比如，在学习“空间立体几何图形”时，棱柱、棱锥和棱台相互之间的转化也用到了极限思想：棱台是由棱锥截取而得，将棱台的上底面扩大，使得上、下底面全等，就可以得到棱柱，而将棱台的上底面缩小为一个点，就可以得到棱锥.除此之外， 极限思想还渗透在“导数的概念”、“无穷项等比数列的求和”、“基本不等式的推导”、“用二分法求函数零点的近似值”、“求不规则的曲边图形的面积”、“圆锥曲线的渐近线”、“球的表面积公式的推导”、“函数的值域和定义域的求解”等相关知识点的教学当中.因此，我们必须重视极限思想的教学.高中阶段极限思想的教学不仅可以提高学生的解题能力，还可以培养学生的辩证思维能力，有助于学生建立完整的思维逻辑结构，逐本溯源加深对数学本质的理解，也为今后学习高等数学建立一定的知识储备.

苏教版的教材对“导数的概念”这一知识点的编排，不像之前的教材那样一味地强调构造微积分的完整体系，而是更加注重高中阶段学生的认知发展规律.教材结合物理中的实例从平均变化率、瞬时变化率讲起，再到以“割线逼近切线”，让学生直观感受到一个动态的变化过程.针对“导数的概念”目前有两种比较流行的讲授方法，一种是先讲极限的概念，再讲导数的概念，另一种则是不介绍极限，直接讲导数的概念.通过比较两种方法的教学效果发现，不讲极限直接讲导数的概念取得的教学效果更好.同时通过调查访问一线教师和部分学生还发现,学生对于导数概念的理解只停留在机械地记忆公式的层面，而对导数概念是如何形成的，以及导数的概念中所蕴含的极限思想并不了解;其次，大多数教师将导数的概念这部分内容的教学重点放在了计算和应用上，而对导数概念的形成以及其中蕴含的极限思想往往一笔带过，甚至不会提及.另外，学生还反映对于导数概念中的“”存在理解性的困难，无法理解极限的过程是动态的，其结果却是一个精确值.同时学生对于极限思想的应用意识略显薄弱，不会把这一思想和其他知识点连接起来，做不到学以致用.这些问题的解决需要教师在讲授相关概念时，把握住“极限思想”的本质，可以在极限概念讲授之前，给学生适当地渗透一些体现极限思想的案例如上文中提到的“圆的面积公式的推导”，以免学生对突如其来的概念难以接受.为了解决上述问题，我们可以从以下几个方面入手：

一、在日常的教学实践中，逐步有意渗透极限思想.

数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万分休.”为了更好的将极限思想植根于学生的大脑中，我们可以在一些重要知识点上有意渗透.比如在讲解这样一道题目“”时，我们除了直接套用“等比数列求和公式”以外，还可以采用下面数形结合的方法.

可以看到这种方法能让学生直观的看到各项间的联系，并且当时，这个数列的各项加和将趋向于定值1，这也能帮助学生理解无穷等比数列前项和的含义.

二、在优化解题中利用极限思想，加强知识点之间的衔接.

数学思想的魅力在于能巧妙运用，优化解题思路， 提升解题效率.极限思想在函数、方程、 不等式、三角函数、数列、立体几何等众多问题中都可被巧妙运用.尤其在解决带参数的函数的零点问题上，可以利用参变量分离方法和极限思想对所构造的函数的图像进行初步描绘，从而避开繁杂的讨论，大大优化解题过程.比如“已知函数，讨论函数的零点个数．”

分析：对于求解含有参数的函数的单调性、极值、零点问题，一般有2种解题思路，一是进行参变量分离，二是根据参数进行分类讨论.下面给出的是借助极限思想进行参变量分离的方法.

若令则再令则.令，则

所以在(0，＋∞)上单调递减，又，故当x∈(0，1)时，h(x)＞0，

即g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(1)＝.

又g＝0，当x＞1且x→＋∞时，g(x)＞0且g(x)→0，

函数的大致图象如图所示：

结合图象可知，当a＞时，f(x)无零点;当a≤0或a＝时，f(x)有1个零点;

当0＜a＜时，f(x)有两个零点。

本题的解法并不唯一，但是可以看出，借用极限思想画出所构造函数的大致图象把复杂的函数直观化更贴近学生的思维方式，尤其是对于选择填空题，此种解法更高效，学生也更容易接受.

数学思想是数学方法的灵魂，而极限思想是众多数学思想当中举足轻重的一个，它在高中数学课中扮演着重要的角色，它渗透在函数、立体几何、解析几何等几大重点模块当中.合理的利用“极限”思想，能帮助学生突破有限的枷锁，用无限的眼光更深入的看待问题，抓住数学的本质，重塑思维逻辑体系，尤其是在新高考背景下更加强调学生的数学抽象逻辑推理能力的今天，我们更要注重思维方法的讲授,做好初、高等数学的衔接工作.

参考文献：

[1] 杨虎. 从中考试题谈初高中数学衔接教学 [J]. 理科考试研究, 2023, 30 (16): 16-20.

[2] 肖海阳. 初高中数学教学内容衔接研究 [J]. 数学学习与研究, 2023, (18): 90-92.