高中数学建模课堂教学研究----以“人口模型”为例

高中数学建模课堂教学研究----以“人口模型”为例

张军

  四川省南充市第一中学  637000

摘要：随着数学建模渐渐出现在各类学校的课堂中，培养学生数学建模能力日益重要，因此如何基于目前数学建模素养现状初步培养学生数学建模能力成了研究热点之一。本文将从研究背景出发，从学生和教师两方面探讨了目前高中生建模能力的培养现状，基于现状提出了三点数学建模教学设计原则，根据三项原则设计了以“人口模型”为例的案例教学，并提出了三点培养策略。

关键词：数学建模素养；实际问题；创新

一、我国高中数学建模研究背景

20世纪80年代初，中国将数学建模引入大学课堂。随着计算机和信息技术产业的发展，为了培养高质量复合型人才，数学建模逐渐从大学课堂向中小学课堂过渡。

在2003年数学建模进入了《普通高中数学课成标准（实验）》；部分中学也相继开设了关于数学建模的选修课，让同学们在中学接触该内容，培养其数学建模思维，解决简单的实际问题。

到了2017年，“数学建模”的地位迎来了新的变化，《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出“数学建模”是数学核心素养之一，要求在课堂教学中应该初步培养学生的建模思想和建模能力，将数学建模贯穿在整个高中的数学教学中。

二、高中学生数学建模能力培养的现状

（一）学生方面：

第一，对于高中生而言，其抽象思维能力还比较弱，他们没有办法把实际问题真正地转化成一个数学模型。

第二，数学模型一般为开放性题目，要求学生自己搜集数据，从众多的关系中找到问题的关键，然后建立适合的数学模型去分析和解决问题。但是从目前来看，由于高中生平时接触到的数学题目大多为唯一答案，这限制了学生的发散思维，产生了一定的定势思维，阻碍数学建模的学习。

第三，高中生平时学习任务重，没有精力放在数学建模上。

（二）教师方面：

第一，虽然数学建模在课程标准中有要求，但尚未普及，无法真正将数学建模融入课堂教学。

第二，很多一线教师还是以学生的成绩为主，不重视数学建模对学生思维和应用能力的培养。

第三，由于数学建模难度较大，一般在大学才会讲授，因此初高中对于这部分内容的研究较为缺少，即使一线教师想要去培养学生的建模能力，但是可参考资料不足，导致教师没有足够的实践案例可以效仿。

三、高中数学建模在教学中的原则

（一）尊重数学建模的开放性和繁杂性

数学建模的开放性指的是建模本身没有唯一答案，是一种开放性题目，教师在选定建模材料时应该选择开放性强的实际问题。

繁杂性是指在建模过程中，学生要自己考虑各种因素，并且做出假设，因此要求学生去根据问题找到关键，提炼出重要关系，并且决定是保留还是忽略这些关系。

（二）实践性原则

数学建模是连接数学和生活的一座桥梁，让学生真正主动地参加到建模过程中，通过建模活动激发学生自主探究能力。

（三）选题与所学内容相关且贴近生活

建模选题贴近生活才能激发学生的学习兴趣，同时，教师要选择和学生能力水平相贴近的题目，题目设置不宜过难和过简。题目过难可能会使从未接触过建模的学生丧失信心，过于简单学生不能领悟到数学建模真正的意义。

（四）及时评估

教师在建模过程中起着引导作用，教师的及时评估可以提高学生的建模能力。同时，教师须谨记评估应该侧重于建模过程，而不是结果。体验建模的过程远比建模的结果更加有意义。

四、人口模型教学设计案例

（一）教学内容分析

在学生学习了变量的相关性之后引入线性回归方程，并运用线性回归方程对相关量进行估计，然后求得函数模型，为将来处理更加复杂的现实问题奠定基础。

本课重点是引导学生用已经学过的散点图，相关系数等知识进行回归分析，进而培养学生搜集数据、将实际问题转化为数学模型的能力。

（二）学情分析

高中生已具备一定的抽象能力，但总体对建模还不熟悉，因此为了初步培养建模思维和能力，让学生体会数学建模过程，本课将从实际问题出发，引起学生学习兴趣，探索建模过程。

（三）教学目标

第一，能够判断生活中随机变量之间的相关性，会使用相应的统计软件初步处理数据。

第二，通过数学建模，培养学生自主探索、合作交流以及自主思考能力。

第三，让学生体验到数学的乐趣，让学生们知道数学源于生活，提高数学学科核心素养。

（四）教学实践过程

第七次人口普查刚刚结束，为了让学生们初步体验建模过程，本课将从人口增长入手，引导学生找到合适的人口增长模型并且进行简单地人口预测。由于该情景需要使用到电脑，因此该节课教学场所在多媒体教室进行教学。

1. 创设问题情景，引入建模问题

师：我国每十年就要进行一次人口普查，今年刚好是第七次人口普查落定年。所以，有同学知道现在我国人口已经到多少亿了吗？

生1：不知道。

生2：知道，大概13亿多吧，应该一年比一年多了。

师：同学们对我国的人口数量都没有一个确定的答案，接下来大家可以利用身边的电脑去查找一下这七次的人口普查数据，然后整理统计到Excel表中，并且数据来源要真实可靠，具有权威性。

教师组织学生进行数据收集，提高学生检索和识别信息的能力。

教师使用和生活相关的问题，为下一步数学建模教学奠定基础。

师：同学们从刚刚整理的表格中发现了什么？

表1  七次人口普查数据

生：人口随着时间增加而增加了。

2. 数学建模过程

师：很这个规律要用一个函数关系去表示，同学们认为它可能会像哪个函数关系呢？

生1：应该是一次函数关系吧。

生2：也有可能是指数函数关系。

师：你们的猜想都很好。那接下来为了验证我们的猜想，我们下一步该怎么做呢？

生1：要先设置函数关系中变量。

生2：那变量就是时间和人口数量。

师：现在变量已经出来了，我们怎么样才能知道他具体是不是一次函数呢？

生：可以用描点法画出具体的函数图像

师：可以，但是这个办法耗时有点久。再想想还有没有其他的什么办法呢？大家要善于利用身边的资源。

生：老师，可以用Excel软件里面的图表功能生成散点图。

师：大家打开软件试一试。并且在绘制完散点图后，请同学们检验你们的猜想。

将学生分组，使用Excel软件绘制散点图，进行小组的展示（图1）和讨论。

图1  人口数量散点图

组1：老师，根据散点图的观察我们发现这些点大致可以连成一条线，所以他们应该是线性相关的，而且是正相关。

师：那你可以写出对应的线性回归方程吗？

学生在散点图基础上，选择“趋势线”中的线性，并且勾选“显示公式”这一栏，最终展示出该线性回归方程（图2）。

图2 线性回归方程

师：怎么确定你所建立的回归方程是可靠的呢？

在教师提问后，学生通过继续操作Excel软件勾选“显示值”，利用其值去判断拟合程度（图3）

图3  值

组1：老师，我们组求解的值为0.9497，几乎接近1了，所以我们组认为在人口数量和时间这两个关系上，它们的线性相关关系很强。

师：很好，组1的同学给我们展示他们组的结论。那么其他组有不同答案吗？

建模是不断探索的过程，在这个过程中，学生互相讨论，分别展示，得出不同结论（图4、图5），这一过程符合前文所提到的尊重开放性和繁杂性原则。

组2：老师，我们组将其拟合成了对数函数模型，并且得出的值是0.9645，比线性回归模型拟合效果更好。

图4 对数函数模型

组3：老师，我们组拟合的是多项式函数模型，的值是0.9866。因此，我们组认为多项式模型更适合实际情况。

图5  多项式模型

在学生展示完后，教师进行总结。

师：每一组的同学都分析得很全面，可见同学们在讨论的时候做了很多的尝试，除了分析出线性回归模型，还有对数模型以及多项式模型等等。而且还通过这些模型的相关系数，也就是值对比了拟合效果。那么接下来课后还有一些问题需要大家自己解决。

（五）教学反思

本课选择了贴近生活的题目，设计了有目标、有层次的学习活动，改变了传统的学习方式，融入了多样化、有时代特征的学习和实践，如网络搜索、使用Excel软件处理数据、合作探究等。培养学生应用意识和实践能力，提升了对数学学科价值的理解。

五、高中数学建模素养培养策略

根据课堂教学效果，为了更好地使学生了解建模，树立建模思想以及使用建模方法初步解决生活实际问题，提出了以下策略：

（一）培养学生问题意识

数学建模和数学探究始终围绕着一个话题，即发现问题，提出假设，这就要求学生能够在生活中主动发现问题，并用数学知识去解决它。

（二）开展数学建模活动

在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出，数学建模和数学探究在必修课中应满足6个学时的要求，并且要求学生至少完成一个课题研究。因此，教师应该合理有序地组织学生开展数学建模活动，包括选题、开题、做题和结题四个环节。

（三）灵活运用数学软件

教学灵活应用数学软件，可以将更多数学建模素材引入到课堂上，全面培养学生的数学建模能力，为学生的良好发展提供保障。

六、结束语

在建模中，学生可以看到数学帮助他们理解和洞察现实世界，而现实世界反过来帮助他们更好地理解数学，不仅提升数学水平，而且发展了学生们的创新精神。因此，在高中适当开展数学建模对学生学习和终身发展是有帮助的。

参考文献

[1]梁贯成,赖明治,乔中华,陈艳萍编译.数学建模教学与评估指南[M].上海:上海大学出版社.2017.

[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验稿)[S].北京:人民教育出版社,2003.

[3]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版.

[4]石利叶.国内中学数学建模及其教学的研究现状[J].教育教学论坛,2010(07):43-44.