（武警警官学院 四川·成都 610213）
摘 要：方阵n次幂的计算是线性代数中常见的问题之一.本文结合例子介绍了四种计算方法：数学归纳法、二项式定理展开法、相似矩阵对角化法、拆分相乘法.
关键词：方阵的幂；矩阵乘法；矩阵对角化
一、引言
在线性代数课程中，一类常见的问题是计算方阵的幂.方阵的低次幂的计算比较简单，但是方阵n次幂的计算比较复杂，下面介绍四种常用的方阵n次幂的计算方法.
二、常见的方阵n次幂的计算方法
1、数学归纳法
通过计算
，如果有某种规律，可以使用数学归纳法.
例1已知
，求
.
解：
，
设 
，
则 
，
所以 
.
2、二项式定理展开法
若
能分解为两个矩阵的和，比如
，且
,则
可以使用二项式定理展开，要求
，
中有一个的方幂要尽快为零矩阵.
例2(同例1) 已知，求.
解：因为
，其中
，
而 
，
，可知
.
所以 
3、相似矩阵对角化法
例3 已知
，求
.
解：先求
的特征值与特征向量.
得：
. 因为特征值互不相同，所以可对角化.
当
时，由
，解得
；
当
时，由
，解得
；
当
时，由
，解得
.
令
，则
而 
，于是 
4、拆分相乘法
对于方阵
，如果
，则可以将分解成一个行向量和一个列向量的乘积，再根据矩阵乘法的结合律就可以求出
.
例4 已知
，求.
解：因为
，令
，
，则
，
.
所以
.
三、结束语
总之，具体用什么方法求解方阵的n次幂，要根据给定的方阵的特点，选择简单的、适合的方法求解.此外，上述四种方法不是独立存在的，有时还需要配合起来使用.
参考文献
[1] 同济大学数学科学学院．工程数学线性代数第七版[M] ．北京：高等教育出版社，2023. 3．
[2] 李正元，李永乐．考研数学.数学复习全书.数学二[M] ．北京：中国政法大学出版社，2013．
作者信息：蔡磊，男（1982.05－），汉族，山西运城人，硕士研究生，副教授；
研究方向：数学教学与建模；
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