求数列前n项和的几种常用方法

求数列前n项和的几种常用方法

赵树义

云南省永胜县第一中学 

一.公式法（定义法）：

1.等差数列求和公式：

特别地，当前项的个数为奇数时，，即前项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算；

2.等比数列求和公式：

（1），；

（2），，特别要注意对公比的讨论；

3.可转化为等差、等比数列的数列；

4.常用公式:

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

例1 已知，求的前项和.

解：由

由等比数列求和公式得 

＝＝

＝1－

例2 设，,求的最大值.

解：易知 ，

∴＝

           ＝＝

∴ 当 ，即时，.

二.倒序相加法:如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.

例3 求的值

解：设…………①

将①式右边反序得

…………②    （反序）

又因为

①+②得                                                     （反序相加）

＝89

∴  S＝44.5

三.错位相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.

如：等比数列的前项和就是用此法推导的.

例3. (贵州省贵阳市2024届高三上学期期中质量监测数学试卷)设公比为2的等比数列的前项和为，，若是常数列．

（1）求的通项公式；

（2）设，求的前项和．

【分析】（1）先根据等比数列的通项公式与求和公式写出与的表达式，再计算出的表达式，再根据数列是常数列列出关于的方程，解出的值，即可计算出等比数列的通项公式；

（2）先根据第（1）题的结果计算出的表达式，再计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前项和．

【小问1详解】:由题意，可知，

，

则，

数列是常数列，

，即，

数列是等比数列，，

，解得，

，．

【小问2详解】:由（1）可得，，，

则，

，

两式相减，

可得，

．

例4. (福建省龙岩市一级校2023届高三上学期期末联考数学试题)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，＝Sn＋1＋Sn.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.

【分析】（1）由，结合递推式＝Sn＋1＋Sn即可求解.

（2）由(2n－1)·2n，利用错位相减法求和即可.

【详解】解：（1）由＝Sn＋1＋Sn①

所以当n≥2时，＝Sn＋Sn－1，②

①－②得－＝an＋1＋an，即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，

因为an>0，所以an＋1－an＝1，

所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列．

由①知＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，

所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n③

又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N*)．

（2）由（1）得＝(2n－1)·2n，

则Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④

2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤

④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，

所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，

故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.

本题主要考查了数列前n项和与的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.

例5 求和：…………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积

设………………②    （设制错位）

①－②得 （错位相减）

即：

∴

变式 求数列前项的和.

解：由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………①

………………………②     （设制错位）

①－②得，    （错位相减）

∴

四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于，其中是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是.

常见裂项公式：

（1），；（的公差为）；

（2）.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；（3）；

（4）；；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）常见放缩公式：.

例6.(贵州省遵义市2024届高三第一次质量监测统考数学试题)已知数列的前项和为，且当时，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，求的前项和.

【分析】（1）根据与之间的关系，分和两种情况运算求解；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法运算求解.

【小问1详解】:因为当时，，且，

若，则，解得，

若，则，

两式相减可得：，整理得，

即，可得；

可知不符合上式，符合上式，

所以

【小问2详解】:由（1）可得：

，

当时，则；

当时，则；

可知符合上式，所以.

例7.(云南省昭通市2024届高中毕业生诊断性检测数学试卷)已知数列满足.

（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【分析】（1）由题意构造出形式即可得；

（2）借助裂项相消法求和即可得.

【小问1详解】:因为，且，

所以，即，

又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以，所以；

【小问2详解】:由（1）知，所以，

所以

，

故.

五.分组求和法: 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例8. (重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高三上学期11月模拟测试数学试题)已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【分析】（1）根据等比数列的定义和求和公式求，进而可得结果；

（2）由（1）可得：，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.

【小问1详解】：设的公比为，

因为，即，

且，可得，解得或（舍去）．

又因为，解得，

所以.

【小问2详解】：由（1）可得：，

所以

，

所以.

例9 求数列的前项和.

解：设

∴＝

将其每一项拆开再重新组合得

                           （分组）

＝

＝                （分组求和）

＝

变式 求数列的前项和.

解：

1