对称在解题中起着神奇的作用,建立了令人注目的功勋.本文所论及的对称有形的轴对称和中心对称,还有式的对称和轮换对称.例1如图,以正方形ABCD的边为边,分别向内作正三角形ABK、BCL、CDM和DAN.求证:KL、LM、MN、NK的中点和AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中点是正十二边形的12·个顶点[2].分析如果用常用的方法,证明12条边相等,12个内角相等,那么,要进行相当繁杂的计算和艰难的推导.由正方形的对称性和正三角形的对称性,只须证明OP=OQ,∠QOK=15°,∠POQ=30°,其中P为KL的中点,Q为DN的中点,这样,就可达到证题的目的.用黑点表示十二边形的顶点,P和Q表示其中的两点.连结OD,由对称性,易知点P在OD上,再连结OQ和OK.考虑到AN为BK的垂直平分线,有KN=NB.由对称性知,?MBN为等边三角形,设边长为S,且有∠CBN=15°.考虑?DBN,因为O和Q分别为DB和DN的中点,所以OQ//BN/2,于是OQ=S/2,∠QOK=15°,故∠POQ=∠DOK?∠QOK=45°?15°=30°,而OP=KN/2=S/2=OQ.例2求值[3]0221(tan)dx...
