简介:三角形均有外接圆,而凸四边形在对角互补的条件下也存在外接圆,这是人们所熟知的,我们可以进一步地考察三角形与凸四边形外接椭圆的存在性问题,在本文中我们用几何的方法对这个问题作出肯定的回答,有下面的定理:定理任一凸四边形均存在外接椭圆.证明如图,四边形ABCD是任一凸四边形,如果它的对角互补,则它有外接圆,我们可把外接圆看作是凸四边形的一个特殊的外接椭圆.如果凸四边形ABCD的对角不互补,则必有一对角和小于180°,不妨设∠A+∠C<180°,且令∠BAC=α1,∠DAC=α2,∠BCA=α3,∠DCA=α4.(1)、若α1,α2,α3与α4均不等于90°,则可在面ABCD内过点C作直线EF⊥AC,与AB和AD的延长线分别相交于点E与点F.设凸四边形ABCD在通过EF的某一个平面上的射影是凸四边形A′B′C′D′,这时显然∠ACA′是两个面所成二面角的平面角,设为β,以下证明,当β取某一适当值时,可使得凸四边形A′B′C′D′的对角互补.∵tanα1=EACC,cosβ=AA′CC,∴tantan1cosEACECACα∠′=′=β.同理可得tantan2∠FA′C=cosαβ,∴tan∠EA'...