关键词:线段;等分;作法
作者简介:尚强,任职于深圳市教育科学研究院;许苏华,任教于深圳教苑中学。
怎样把一条任意线段三等分?如果把引题进行推广:对任意线段进行n等分,又如何作图呢?利用《超级画板》几何作图及编程功能,给出8种他人的作法以及3种笔者的作法。
一、尺规作图等分线段
只利用尺规,怎样把任意一条线段三等分?如图1所示,操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,并作射线;
2.以点为圆心,以任意长度为半径画圆,交射线于点;
3.再以点为圆心,作同样半径的圆,交射线于点,同法作出点;
4.连接,作,则点、把线段分成三等分。
对于线段的n等分,同法。
二、单尺作图等分线段
只利用直尺,怎样把任意一条线段三等分?如图2所示,操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,并任作其平行线,在直线的另一侧任取一点;
2.连接和,交直线于点、,再连接和相交于点,连接,并延长交于点,则点平分线段;
3.再连接,交于点,连接并延长交于点,则点是三等分点。
对于线段的四等分,最简单的办法就是平分线段后再平分线段,也可以利用上面的方法,在三等分点的基础上再作四等分点,依次可作五等分点、六等分点、直到n等分点。
三、大卫-丹尼尔等分线段
早在1996年,美国康涅狄格州的两名中学生,15岁的大卫·戈登汉姆和16岁的丹尼尔·李奇菲尔德,借助几何画板成功地用另一种方法,证明了线段可以任意等分的这一古老定理,我们简称为大卫-丹尼尔等分线段法.如图3所示,把任意一条线段三等分的操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,以为边作正方形;
2.连接,作的中点,连接,交于点;
3.过点作的垂线,点即为线段的三等分点。
对于n等分点,都是可以通过二等分点和三等分点迭代作。
四、秦世锐等分线段
1998年秦世锐提出了一种新方法,如图4所示,把任意一条线段三等分的操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,并作射线;
2.在上任取一点,再取点使得;
3.连接,并延长到点使得;
4.连接交于点,点即是线段的三等分点。
对于n等分点,利用递归方法作.比如作的四等分点,我们利用此方法先作的三等分点。
五、平行线等分线段
利用平行线,怎样把任意一条线段三等分?如图5所示,操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,并作其平行线,在上任取一点,并作出点、使得;
2.连接并延长到点,连接并延长交于点;
3.再连接和,分别交线段于点、,则点、把线段三等分。
对于线段的n等分,同法。
六、石坚等分线段
2004年,石坚在中学生数学杂志上发表了一篇文章,名为《线段的多等分》,使用了一种新办法,把简化如下,如图6所示,把任意一条线段三等分的操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,过点作垂线;
2.作线段的中点,再以点为圆心,为半径作圆,交于点;
3.连接,作的角平分线分别交、于点、;
4.过点作的垂线,则是线段的三等分点。
对于线段的2n+1等分,我们都可以先作2n等分,再用类似的办法,作其2n+1等分点.对于2n等分,可以先平分,直到为奇数,再用石坚方法作。
七、黄益先等分线段
2006年,黄益先提出一种新的三等分线段的方法,如图7所示,操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,再作线段;
2.在线段上任取一点,再作点、使得;
3.连接,作线段中点,再连接,分别交线段、于点;
4.连接并延长交于点,连接并延长交于点,则点、把线段三等分。
对于n等分,在直线上取n等分线段,其它步骤类似三等分点作法可作n等分点。
八、正分法等分线段
2008年,岳山提出一个被他称作为线段的正分法的新方法.利用此方法,如图8所示,把任意一条线段三等分的操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段,再分别以和为圆心,长度为半径作圆和圆,交于和两点,连接交于点;
2.以点为圆心,为半径作圆,交延长线于点;
3.以为圆心,为半径作圆,与圆交于与两点,连接交于点,即是线段的三等分点。
对于线段的n等分,可利用类似的方法作出。
九、定比分点等分线段
中学数学课本中已经提到定比分点公式,超级画板的编程环境支持定比分点作图,把线段三等分的具体操作步骤如下:
1.先画出要等分的线段;
2.在超级画板的程序工作区输入下面程序:
n=3;
for(i=1;i<n;i=i+1)
pisionPoint(5,6,i/(n-i),i);
(说明:变量n表示要进行几等分,pisionPoint(5,6,i/(n-i),i)是定比分
点画图函数,其中5、6在分别代表、两点,i/(n-i)表示如何分,最后一个参数i表示将要生成等分点的名字.)
3.运行程序结果如图9所示,点1和点2把线段三等分。
对于线段的n等分,只要修改超级画板程序中n的值即可,较以上八种方法,最为方便。
十、曲线取点等分线段
利用超级画板函数曲线作图功能,作一条直线,设置参数范围,得到一条线段,然后设置线段的曲线点数为n+1个,并选择画点,直接显示出线段的n个等分点,如图10所示,线段的三等分结果:
十一、等分圆滚动等分线段
对于任意一条线段,如果能找出一个圆周长为的圆,对其圆周进行n等分,然后让圆周上的某一等分点与线段的端点重合,然后让该圆在线段上面滚动到另一端点,并让圆周上的等分点在线段上留下记号,从而实现线段的n等分.利用超级画板的编程环境可实现,步骤略。
参考文献:
[1]张景中,彭翕成.动态几何教程[S].北京:科学出版社,2007.
[2]王尚志.“美国两名中学生用简便新颖方法再度证明线段可以任意等分”——给我们的启示,数学通报,1997(5).
[3]秦世锐.再谈n等分线段的作法[J].中等数学,1998(4).
[4]范子坚.平行线等分线段定理及其推论的应用[J].中学生理科月刊,1999(8).
[5]石坚.线段的多等分[J].中学生数学,2004(6).
[6]黄益先.尺规作图等分角、线段另有方法[J].中学数学杂志,2006(8).
[7]岳山.n等分线段的正分法[J].中学生数学,2008(18).
作者单位:深圳市教育科学研究院;深圳教苑中学
邮政编码:518000
MethodsofPartingLinesbySuperSketchpad
ShangQiangXuSuhua
Abstract:Howtopartoptionallines?Thispaperintroducessomemethodsbyfunctionofsupersketchpad.
Keywords:lines;part;methods