《超级画板》对线段进行任意等分的作法

《超级画板》对线段进行任意等分的作法

尚强许苏华

关键词：线段；等分；作法

作者简介：尚强，任职于深圳市教育科学研究院；许苏华，任教于深圳教苑中学。

怎样把一条任意线段三等分?如果把引题进行推广：对任意线段进行n等分，又如何作图呢？利用《超级画板》几何作图及编程功能，给出8种他人的作法以及3种笔者的作法。

一、尺规作图等分线段

只利用尺规，怎样把任意一条线段三等分？如图1所示，操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，并作射线；

2.以点为圆心，以任意长度为半径画圆，交射线于点；

3.再以点为圆心，作同样半径的圆，交射线于点，同法作出点；

4.连接，作，则点、把线段分成三等分。

对于线段的n等分，同法。

二、单尺作图等分线段

只利用直尺，怎样把任意一条线段三等分？如图2所示，操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，并任作其平行线，在直线的另一侧任取一点；

2.连接和，交直线于点、，再连接和相交于点，连接，并延长交于点，则点平分线段；

3.再连接，交于点，连接并延长交于点，则点是三等分点。

对于线段的四等分，最简单的办法就是平分线段后再平分线段，也可以利用上面的方法，在三等分点的基础上再作四等分点，依次可作五等分点、六等分点、直到n等分点。

三、大卫-丹尼尔等分线段

早在1996年，美国康涅狄格州的两名中学生，15岁的大卫·戈登汉姆和16岁的丹尼尔·李奇菲尔德，借助几何画板成功地用另一种方法，证明了线段可以任意等分的这一古老定理，我们简称为大卫-丹尼尔等分线段法.如图3所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，以为边作正方形；

2.连接，作的中点，连接，交于点；

3.过点作的垂线，点即为线段的三等分点。

对于n等分点，都是可以通过二等分点和三等分点迭代作。

四、秦世锐等分线段

1998年秦世锐提出了一种新方法，如图4所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，并作射线；

2.在上任取一点，再取点使得；

3.连接，并延长到点使得；

4.连接交于点，点即是线段的三等分点。

对于n等分点，利用递归方法作.比如作的四等分点，我们利用此方法先作的三等分点。

五、平行线等分线段

利用平行线，怎样把任意一条线段三等分？如图5所示，操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，并作其平行线，在上任取一点，并作出点、使得；

2.连接并延长到点，连接并延长交于点；

3.再连接和，分别交线段于点、，则点、把线段三等分。

对于线段的n等分，同法。

六、石坚等分线段

2004年，石坚在中学生数学杂志上发表了一篇文章，名为《线段的多等分》，使用了一种新办法，把简化如下，如图6所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，过点作垂线；

2.作线段的中点，再以点为圆心，为半径作圆，交于点；

3.连接，作的角平分线分别交、于点、；

4.过点作的垂线，则是线段的三等分点。

对于线段的2n+1等分，我们都可以先作2n等分，再用类似的办法，作其2n+1等分点.对于2n等分，可以先平分，直到为奇数，再用石坚方法作。

七、黄益先等分线段

2006年，黄益先提出一种新的三等分线段的方法，如图7所示，操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，再作线段；

2.在线段上任取一点，再作点、使得；

3.连接，作线段中点，再连接，分别交线段、于点；

4.连接并延长交于点，连接并延长交于点，则点、把线段三等分。

对于n等分，在直线上取n等分线段，其它步骤类似三等分点作法可作n等分点。

八、正分法等分线段

2008年，岳山提出一个被他称作为线段的正分法的新方法.利用此方法，如图8所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段，再分别以和为圆心，长度为半径作圆和圆，交于和两点，连接交于点；

2.以点为圆心，为半径作圆，交延长线于点；

3.以为圆心，为半径作圆，与圆交于与两点，连接交于点，即是线段的三等分点。

对于线段的n等分，可利用类似的方法作出。

九、定比分点等分线段

中学数学课本中已经提到定比分点公式，超级画板的编程环境支持定比分点作图，把线段三等分的具体操作步骤如下：

1.先画出要等分的线段；

2.在超级画板的程序工作区输入下面程序：

n=3;

for(i=1;i<n;i=i+1)

pisionPoint(5,6,i/(n-i),i);

（说明：变量n表示要进行几等分，pisionPoint(5,6,i/(n-i),i)是定比分

点画图函数，其中5、6在分别代表、两点，i/(n-i)表示如何分，最后一个参数i表示将要生成等分点的名字.）

3.运行程序结果如图9所示，点1和点2把线段三等分。

对于线段的n等分，只要修改超级画板程序中n的值即可，较以上八种方法，最为方便。

十、曲线取点等分线段

利用超级画板函数曲线作图功能，作一条直线，设置参数范围，得到一条线段，然后设置线段的曲线点数为n+1个，并选择画点，直接显示出线段的n个等分点，如图10所示，线段的三等分结果：

十一、等分圆滚动等分线段

对于任意一条线段，如果能找出一个圆周长为的圆，对其圆周进行n等分，然后让圆周上的某一等分点与线段的端点重合，然后让该圆在线段上面滚动到另一端点，并让圆周上的等分点在线段上留下记号，从而实现线段的n等分.利用超级画板的编程环境可实现，步骤略。

参考文献：

[1]张景中，彭翕成.动态几何教程[S].北京：科学出版社，2007.

[2]王尚志.“美国两名中学生用简便新颖方法再度证明线段可以任意等分”——给我们的启示，数学通报，1997（5）.

[3]秦世锐.再谈n等分线段的作法[J].中等数学，1998（4）.

[4]范子坚.平行线等分线段定理及其推论的应用[J].中学生理科月刊，1999（8）.

[5]石坚.线段的多等分[J].中学生数学，2004（6）.

[6]黄益先.尺规作图等分角、线段另有方法[J].中学数学杂志，2006（8）.

[7]岳山.n等分线段的正分法[J].中学生数学，2008（18）.

作者单位：深圳市教育科学研究院；深圳教苑中学

邮政编码：518000

MethodsofPartingLinesbySuperSketchpad

ShangQiangXuSuhua

Abstract:Howtopartoptionallines?Thispaperintroducessomemethodsbyfunctionofsupersketchpad.

Keywords:lines;part;methods