高中数学的解题能力的培养

高中数学的解题能力的培养

尹振杰

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〔关键词〕数学解题能力

中学数学教学的重要任务，就是使学生“具有正确、迅速的运算能力，一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力，从而培养学生分析问题和解决问题的能力”。那么，如何培养高中生数学的解题能力呢？

1掌握常用的解题思想方法

数学题目繁多，内容变化万千，常令许多学生解题不知从何入手，在解题中，我们必须教会学生常用的几种解题方法。下面通过举例，介绍中学数学常用的几种解题思想方法：

1.1换元法。“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。

1.2特殊值法。特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。

特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。

待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。

1.3数形结合法。数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。

数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。

1.4反证法。反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。

反证法的解题步骤：①反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。②归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。③存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。

反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地做出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。

2掌握正确的解题步骤

公认的数学解题步骤可以分为以下四步:第一步,了解问题；第二步,设计解题过程；第三步,解题过程的落实；第四步,检验结果。实际上就是:第一步,审清题意,题目中出现了哪些条件,要求得到什么样的结果；第二步,根据题目给出的条件,思考用什么样的方法来解决问题；第三步,将思考的方法落实下来,进行正式的解题过程；第四步,验算结果,看结果能不能满足题目的要求,或所得结果是否合情合理。

2.1良好审题习惯的养成。审题实际上就是当看到题目时,不能拿过来就做,要仔细地看一遍,把题意了解清楚,在题目给出的条件中找出有价值的东西,了解题目的要求是求一个最终的结果还是验证一个理论的正确与否,了解题目的结构特征。从题目条件出发找出与结论的内在联系,确定解题方向,明确解题思路,找到解题的数学思想和数学方法。

2.2积极探索解题途径,确定解题方法。问题的求解思路一般可通过两种不同的方向来实现,即“由因导果”和“依果溯因”。由因导果指的是从已知出发,运用已经学过的数学知识来寻求解答过程,也就是我们常说的综合法,按照这个过程,要求我们在解题过程中要善于利用已知条件,将已知条件进行转化,以便有利于问题的解决。这个过程可以通过以下几种方式来实现。

2.2.1观察题目结构,联想所学知识,确定解题方法。观察题目的组成结构,看与所学的知识有哪些相似之处,并运用相关知识,实现问题的解答过程。

2.2.2查看题目外形,查询蕴含规律,确定解题方法。

2.2.3观察题目整体,审视全面内容,确定解题方法。从大局上把握问题,对问题全方位审视,并注意问题的局部处理,可以方便地发现问题的实质。

2.2.4观察整个题目,查询隐含条件,确定解题方法。

2.3解题方法的落实和实现。解题的实现过程要求要简单明了,层次分明、规范严谨。

2.4结果的验算。求出具体的结果以后,要进行仔细的验算,以期尽可能早地发现问题,并及时地进行解决,保证得到的结果数据的准确。验算的过程主要是检验所得数据有无错误,所得答案是否合理,推理过程是否每一步都有理有据,解题格式是否运用正确,等等。

作者单位：河北省临西县实验中学