从一题多解到一题多变

从一题多解到一题多变

黄文宽

甘肃省庆城县陇东中学745000

高三复习课题目综合性强，为减轻学生负担，例题的选取则是备课中至为关键的一环。我们既要考虑学生对已有知识的掌握程度，又要考虑知识与方法的联系和区别。我们课题组第二阶段的工作重点侧重于习题变式的研究，旨在让学生既达到温故知新的目的，又能加深对题目的理解和知识方法的融会贯通。

一、原题呈现

椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，离心率e=。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。

二、追本溯源，感知命题背景

该题考查了对椭圆方程及几何性质的综合运用，在一定程度上做到了知识点的有效覆盖。

三、一题多解，探析解题思路

第一，问的解法：

解：设椭圆方程为＋=1，由条件可得，

解得c2=4，a2=16，b2=12，所以椭圆方程为：＋=1。

当然，（Ⅰ）问的解法可以优化如下：由e=得a2=4c2，b2=3c2。可设椭圆方程为+=1，将A(2,3)代入上式即得c2=4,所以椭圆方程为＋＝1。

第二，问的解法：

解法1:直线AF1的方程y=（x+2），直线AF2的方程x=2，设B（x0,0）（x0＞-2）为角平分线与x轴交点坐标，利用角平分线上的点到角两边距离相等和点到直线的距离公式得：=2-x0，从而解得x0＝。利用两点式得直线方程为:y=2x-1。

解法2：设p（x，y）是角平分线上任意一点,直线AF1的方程y=（x+2），直线AF2的方程:x=2,则=2-x，得x+2y-8=0（舍）或2x-y-1=0（即为所求）。

评注：解法1主要运用角平分线上的点到角的两边距离相等及点到直线的距离公式,解方程求得B点坐标后,用两点确定角平分线所在直线方程。解法2则通过设所求直线上任意一点,巧用方程的思想,简化计算。当然,该题还有其他解题思路,这里,我们选取几种典型的解法做以交流。

解法3：由角平分线性质定理有＝，代入得=，解得x0=(下同解法1)。

解法4：依据F1关于角平分线的对称点必在直线AF2上，在AF2上取一点P满足|AP|=|AF1|=5，结合直角三角形AF1F2易得P(2,-2)，∴kFP=，故直线的方程为y=2x-1。

解法5：利用直角三角形内切圆半径公式r=（其中a、b为直角边长，c为斜边长）,得Rt△AF1F2的内切圆半径r=1，易得内切圆圆心为I（1,1）。由内切圆圆心的特征，得直线AI是∠F1AF2的角平分线,k=2(下略)。

解法6：由＋所得结果是∠F1AF2的角平分线所在直线的方向向量,得＋=（-4，-3）+（0，3）=（-，-），∴k=2(下略)。

解法7：设∠F1AF2＝2α∈（0°，90°），由tan2α=及在Rt△AF1F2中tan2α=，解得tanα=或tanα=-2（舍去），故k=tan∠ABF2=cotα=2(下略)。

解法8：由椭圆“焦点三角形”的性质可得S△AFF=b2tan∠F1AF2=|F1F2|·|AF2|=6，∴tan∠F1AF2=tan∠BAF2=。故k=tan∠ABF2=tan（-∠BAF2）=2（下略）。

解法9：以AF1为直径且过点F2的圆的方程为x2+（y-）2=,记圆与y轴负半轴交于点Q（0，-1）,则由|F1Q|=|F2Q|得∠F1AQ=∠F2AQ,即AQ为所求角平分线。利用两点式得直线方程为:y=2x-1。

四、题目变式，拓展解题思维

变式1:椭圆E以坐标轴为对称轴，焦点F1、F2在x轴上，离心率e=，并且椭圆上有一点A，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为y=2x-1，求椭圆E的方程。

变式2:椭圆E以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，焦距为4，并且椭圆上有一点A，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为y=2x-1，求椭圆E的方程。

变式3：椭圆E经过点A（x0，y0）,对称轴为坐标轴,焦点F1、F2在x轴上,离心率e。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。

变式4:双曲线E经过点A（x0，y0）,对称轴为坐标轴,焦点F1、F2在x轴上,离心率e。

(Ⅰ)求双曲线E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。

变式5：物线E经过点A（x0，y0）,对称轴为x轴,焦点F2,准线方程与x轴的交点F1。

(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。

变式教学的实践证明它的确是一种提高课堂教学效率的有效途径，同时更有利于学生思维的提升和解决问题能力的提高，能关注学生个体的发展，符合新课程的教学理念。通过变式教学，可以一题多解、多题归一，使得学生悟出一般的解题方法和规律，达到举一反三、触类旁通能力的培养和教学效率的提高，使高三学生的复习时间得到了有效的保障。