有关映射个数问题的求法

有关映射个数问题的求法

田尚俊

有关映射个数问题的求法

田尚俊

摘要：有关映射计数问题频频出现在各类试题中，多以选择题或填空题的形式出现。本文介绍了有关映射个数问题的求法。

关键词：映射；求法；问题

作者简介：田尚俊，任教于河南濮阳市职业中专。

近年来有关映射计数问题频频出现在各类试题中，多以选择题或填空题的形式出现。其解题的关键在于映射定义，欲得从A到B的一个映射即完成“A中每个元素在B中均有唯一元素与之对应”一事。显然完成这种有特定对应关系的“事”，就要用分类计数原理和分步计数原理。

一、一般型映射的计数问题

这类问题是指课本中介绍的映射知识，这类问题常涉及求元素个数、集合个数、映射个数等，较简单的可用枚举法、图表法、分类讨论法，适当时要借助于排列组合的知识。

例1已知映射：A→B，其中，集合A＝{－3，－2．－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是()

(A)4(B)5(C)6(D)7

解：本题题意叙述虽长，但转换成图表语言，则非常简洁。如右图，即可选(A)。

例2集合A含有5个元素，B含3个元素．

⑴若从A到B可有多少个不同映射？

⑵若从B到A可有多少个不同映射？

分析：⑴要建立一个从A到B的映射，必须使A中的任意一个元素在B中都有唯一的象，一般要分步考虑；⑵同理可解决B到A的映射。

解：⑴A中的任一元素去选择象都有3种方法，且要完成一个映射应该使A中的每一个元素都能找到唯一的象，由分步计数原理知：共有3×3×3×3×3＝35＝243个。

⑵同理可得从B到A可有53＝125个不同映射。

评注：一般地，对于集合A中有n个元素，B中有m个元素，则可建立A到B的映射mn个映射。

二、特殊型映射的计数问题

这类问题是指特殊的映射即满射、单射、一一映射、函数等的计数问题。

例3我们称映射f：A→B为一个“满射”，如果集合B中任意一个元素都有原象的话，已知集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，则这样不同满射的个数为()

(A)24(B)81(C)64(D)36

解：由题意可知，A中必有两个元素的象是B中的一个元素，而A中的另两个元素与B中的另两个元素分别对应，因此，从A到B可确定的满射个数为·＝36，故应选(D)。

例4我们称映射：f：A→B为一个“一一映射”，如果对于A中不同的元素，在B中都有不同的元素与之对应，而且，对于B中的任何一个元素都有原象存在的话。已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{a，b，c，d}，设集合A到B的不同映射的个数为m，从集合A到B的不同的一一映射的个数为n，那么等于()

(A)4(B)8(C)163(D)323

解：由m＝44＝256，由本题所给出的“一一映射”的定义可知n＝＝24。所以，＝323，故应选(D)。

三、限制型映射的计数问题

这类问题是指在一般映射的基础上，添加约束条件．这类问题灵活性和技巧性都很强，没有固定的解题模式可套，解题时应认真审视约束条件，常借助分类讨论的思想方法和排列组合的有关知识使问题得以圆满解决。

例5．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1，0，－1}，由A到B的映射f满足f(a)－f(b)＝f(c)，那么这样的映射的个数是()

(A)4(B)5(C)6(D)7

分析：这里的f(a)，f(b)，f(c)∈B，且f(a)－f(b)＝f(c)，故可分类讨论。

解：根据映射的概念进行分类讨论：

⑴当f(c)＝－1时，则f(a)＝－1，f(b)＝0或f(a)＝0，f(b)＝1，共2种；

⑵当f(c)＝0时，则f(a)＝－1，f(b)＝－1或f(a)＝0，f(b)＝0或f(a)＝1，f(b)＝1，共3种；

⑶当f(c)＝1时，则f(a)＝1，f(b)＝0或f(a)＝0，f(b)＝－1，共2种。

综上可知，符合条件的共有2＋3＋2＝7种，选(D)。

例6．设集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{6，7，8}，从A到B的映射f中，满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射的个数是()

(A)3(B)6(C)12(D)21

解法1：因为B中只有3个元素，所以f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)中的4个不等号，至多有两个取不等号，没有不等号的映射(即只与B中同一个元素对应)f有＝3个；有一个不等号的映射(即与B中两个元素对应)f有·=12个；有两个不等号的映射(即与B中三个元素对应)f有·＝6个。所以共有3＋12＋6＝21个符合要求的映射。故应选(D)。

解法2：由题意，满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)，即满足6≤f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)≤8；而每一个满足的映射都唯一对应着一个6≤f(1)＋1≤f(2)＋2≤f(3)＋3≤f(4)＋4≤f(5)＋5≤12的映射；于是问题相当于从6到12这7个整数任取5个整数的取法数，即满足题意的映射有＝21个。

例7.设集合M＝{－1，0，1}，N＝{1，2，3，4，5}，映射f：M→N，使对任意x∈M，都有x＋f(x)＋xf(x)为奇数，这样的映射f的个数为_______。

分析关键是读懂题意，其中的条件限制“x＋f(x)＋xf(x)是奇数”，意思是“原象加象再加上原象与象的乘积是奇数”。

解：分三步：①－1去选象，此时x＋f(x)＋xf(x)＝x＝－1，一定是奇数，故－1的象有五种；

②0选象，此时x＋f(x)＋xf(x)＝f(x)，故0的象有“1，3，5”三种；

③1选象，此时x＋f(x)＋xf(x)＝x＋2f(x)＝1＋2f(x)，因而2f(x)肯定是偶数，所以1的象有五种。

由乘法原理知：共有5×3×5＝75个满足题意的映射。

四、转化型映射的计数问题

是指灵活运用映射知识，则能转化为映射的计数问题，从而突破解题难点，优化解题思路，甚至能避免分类讨论等。

例8．有100名选手参加乒乓球赛，赛制是淘汰制，问需要安排多少场比赛决出冠军？

分析：用常规方法，需分多轮进行，即分类相加，非常繁。而用映射方法，则显得简捷快速。

解：一场比赛对应一个失败者(淘汰者)，要决出冠军必须淘汰99人(包括亚军)，故要进行99场比赛。

例9．厂家为回收空瓶，规定3个空瓶可换一瓶啤酒，有人订购10瓶啤酒，问此人能喝几瓶啤酒？

分析：用常规方法，往往错认为是可喝14瓶，剩2个空瓶，其实应为15瓶，先到商家借1个空瓶，凑成3个空瓶，再喝完将空瓶还给商家。也就是体现数学中“添0法”，即“0＝1－1”。

解：由题意，得3个空瓶对应一瓶啤酒(含瓶)，即2个空瓶对应一瓶量的啤酒(不含瓶)，如图

故10瓶啤酒＝10瓶量的啤酒＋10瓶空瓶＝10瓶量的啤酒＋瓶量的啤酒＝15瓶量的啤酒。所以可喝15瓶啤酒。

作者单位：河南濮阳市职业中专

邮政编码：457000

SolutiontoMappingProblems

TianShangjun

Abstract:Somemappingproblemsfrequentlyappearinallkindsoftestpapers,takingtheformsofchoicequestionandgapfilling.Thispaperintroducesthesolutionstomappingproblems.

Keywords:mapping;solutions;problems