数学课堂例题教学的有效设计

数学课堂例题教学的有效设计

杨小兵

杨小兵

摘要：例题是教师引导学生学习概念、掌握技能的主要载体，是教学和学生掌握知识的重要环节。例题教学的目的不仅是解题，而且要在解题的过程中培养和提高学生独立思考、探索新知识、解决问题的能力。本文紧紧围绕“数学课堂例题教学的有效设计”这一主题，借助丰富的教学案例，结合笔者自身的教学实践，重点从引例的设计——在精彩中开始；类化例题的设计——在对比中前行；变式例题的设计——在拓展中飞跃；多解例题的设计——在主动探索中提效；合作性学习例题的设计——在交流中升华五个方面阐述了数学课堂例题教学有效设计的具体做法，分析设计的合理性和有效性，探讨了如何进行适时、适地、适情的情境创设，例题的设计应遵循怎样的“变之道”，以期能起到抛砖引玉、提高数学课堂教学实效的作用。

关键词：例题教学；例题教学；变式

《新课程标准解读》指出：有效数学例题教学，是学生掌握数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本活动经验、发展思维能力的重要途径，能够促进学生学习态度、学习方式的改变．学生数学思维品质的提高，主要是通过例题在解决数学问题的思维实践中实现的。

例题教学是课堂的一个主要组成部分，是培养学生能力的重要手段，能促使学生更加牢固地掌握数学知识，将知识转化为技能。对例题进行精心设计、创设情境，采用新颖的形式，可以激发学生学习的主动性和创造性，让学生从不同的角度探索解决问题的途径，巩固所学的知识，培养其良好的学习习惯和思维品质.

著名数学教育家波利亚曾说过：“问题是数学的心脏”。从某种意义上说，数学教学就是问题的设计。数学教学设计的中心任务就是要设计出一个(或一组)问题，从而把教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程，让学生在解决问题的过程中做数学、学数学、增长知识、发展能力。笔者在观摩海宁市学科带头人的展示课中发现：精心设计的例题正是课堂教学中问题设计的起点，解决问题的载体，归纳应用的升华。因此，在课堂教学中，笔者认为教师应该根据教学内容的特点，精心设计好例题这个“点”，以它为载体，带动整堂课，为课堂提优增效。因此，在课堂教学中，教师应依据教材内容和学生实际，设计出有效的例题，激发学生的思维，提高课堂教学的有效性．

一、数学课堂例题设计的原则

1.例题设计要有明确的目标指向

例题教学是希望通过训练帮助学生理解,沟通知识之间的内在联系，形成知识网络，提高总结归纳能力。例题设计除了要考虑变式的全面性、新颖性，最重要的是要明确例题教学的目的。一般来说，新授课中的例题教学应以基础为重，设计时可着重于某一点的变式，而复习课中的例题教学则要求一题多变、“以少胜多”，这样的例题教学才能真实、简洁、高效，摆脱“题海”战术.

2.例题设计要符合学生的认知规律

由于学生思维并非“一步到位”，而是“螺旋式上升”的渐进过程，明确学生的认知起点，理解学生的思维障碍，设计的问题要有一定的梯度，层层递进，环环紧扣。根据例题的特点，选择重点，如一些综合性的例题，设计时应该注重前期的过度铺垫，对一些基础性的例题，可以进行适当的延伸和拓展，开阔学生的思维，这样的设计，才能让学生处于顺理成章的状态。

3.例题设计要有利于激发学生的探索欲望

有效的例题设计要善于抓住学生的“眼球”，唤醒学生的知识经验。把一些看似平淡的例题配上引“生”入胜的情景，把封闭题改为探索、开放题，把静态的问题动态化，为学生提供一些富有挑战性的素材，调动学生的积极性和创造性，提高学生的参与度，让学生在“想想、猜猜、辩辩”中体会到数学的无穷魅力！

二、数学课堂例题教学的有效设计

1.引例的设计——在精彩中开始

“良好的开端是成功的一半”，一堂成功的数学课，往往需要精彩的课堂导入，笔者认为如果设计一问题引例既可以迅速吸引学生的注意力，激发学生浓厚的学习兴趣，又有一定的内涵，牵一发而动全身，使学生产生主动学习的内驱力，使引例产生事半功倍的效果．

例1.笔者在参加的片“双高课”《5.1不等式》中设计了引例：我非常高兴来到你们学校开课，也非常开心认识你们.初次见面我准备了两个苹果(一大、一小)送给大家，但是数目有限，笔者只能把它送给手举得最高的前两名同学。

设计一：由全班同学做评委，选出手举得最高的前两名学生.

设计二：第一名同学选择苹果?并且说出选择的理由.

师问：你想选择哪个苹果？

生答：我选择大的苹果

师问：生活中处处存在着像“举得更高，大的苹果”的不等量关系.

若第一名、第二名同学举手的高度分别为a，b，拿到的苹果质量分别为x、y，你能用数学式子来表示出它们的关系吗？

生答：a＞b，x＞y

师问：给上面的式子取个名字，什么名字好？

生答：不等式

师问：你能类似的举出生活中的不等量关系式吗？

整节课给人的感觉是“水到渠成”，一切都是那么的自然，学生学得轻松、愉快，听课教师也是坐车观景，心情愉悦。课后通过各位教师的点评，笔者又更深刻地领悟到这样设计的恰到好处，因为不仅创设了师生交流的生活化背景，而且非常自然地引入到本节课的教学内容。让学生体会到了数学与实际生活的密切联系，为突破教学难点做了思维铺垫。

2.类化例题的设计——在对比中前行

在初中数学的教学中，存在着很多混淆不清的问题.精心设计例题，将此类例题分类归纳,并集中力量解决同类题中的本质问题，总结出这类题的解题方法和规律，从而达到触类旁通的目的。

例2：(浙教版七年级下数学教材)幂的运算、乘法公式的教学学生容易混淆。在讲完同底数幂的乘法法则后，笔者改编例题1为题组例题A、B组及拓展。

A组：计算下列各式，结果用幂的形式表示

通过对易混淆例题的精心设计，把知识从一个问题迁移到另一个问题，从而达到举一反三、触类旁通的效果.

3.变式例题的设计——在拓展中飞跃

所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化．即教师可不断更换命题中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。通常采用的方法有以下几方面：

(1)递进式例题的设计

设计的例题要有层次性，即由易到难，循序渐进，逐步提高，使不同层次的学生都能达到练习的目的,避免“吃不了”和“吃不饱”的现象发生；同一内容由浅入深的递进，一步步引导学生将问题深化，揭示解题规律，发展学生的思维能力.

例3：在复习时,为了加深学生对等腰三角形性质的理解,笔者设计了有梯度、循序渐进的变式训练组：

（原例题)已知等腰三角形的腰长是4，底长为6；求周长．

变式1：已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长．(这是考查逆向思维能力)

变式2：已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长．（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论)

变式3：已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长．(显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性)

变式4：已知等腰三角形的腰长为，求底边长的取值范围．

通过以上各题的层层推进，不断变化，使学生对这类问题不再有畏惧心里，再遇到类似的问题也能顺利解决．

(2)引申式例题的设计

对于一道例题不能就题论题，而应进行适当的引申和变化，逐步延缓伸展.在培养学生思维的变通性的同时,让学生思维变得深刻、流畅.

①变换题目结论(或条件)，使题目深化发展

例４原题：已知，如图1，在△BCA中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点D、E、F。求证：CE•CA=CF•CB

变式1：求证：△FCE∽△ACB

变式2：求证：=AB•AE•BF

两个变式把原题结论逐步深化，原题的难度较小，到了变式2就成了难度较大的问题.通过变式无疑可以培养学生思维的灵活性,提高其解综合题的能力.

②增加条件，变换结论

任何复杂题都是简单题的发展,通过对原题条件的增加、结论的引申，使题目不断变化，但其实质并没有变化.

例5原题:已知,如图2，经过⊙O上一点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．求证：∠ATC=∠TBC

变式１（增加条件，深化结论）：在原题的条件，“将弦AB改为直径AB”,如图3，再增加条件“AB=BC=6”．结论变为“求AT﹕TB的值”．

变式２（再增加条件，加强结论）：在原题的条件下，将“弦AB”改为“直径

4.多解例题的设计——在主动探究中提效

在例题教学时，教师要有意识地用多种思路来完成，从不同的角度探究，使学生深刻体会并鼓励学生不拘泥于常规方法，寻求变异，勇于创新．

浙教版《义务教育课程标准实验教科书•数学》八年级上册“1.2平行线的判定（2）”中，教材中例题如下：

例6:如图5，∠C+∠A=∠AEC，判断AB与CD是否平行，并说明理由．

解法1：如图6，延长CE，交AB于点F.由于三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和，可得∠CFA+∠A=∠AEC.由已知∠C+∠A=∠AEC，可推出内错角∠C=∠CFA.．根据内错角相等，两直线平行的定理得到AB∥CD

解法2：把图6中的CF再延长些，可用同位角相等证明直线平行.

解法3:如图7，连接AC，在△AEC中，∠AEC+∠ECA+∠CAE=180°，已知∠ECD+∠EAB=∠AEC，所以∠DCA+∠BAC=180°.根据同旁内角互补，两直线平行的定理得到AB∥CD

教师通过分析，引导学生沿着不同的途径去思考问题，通过比较，提炼出最佳解法，从而达到优化解题思路的目的．

5.合作性学习例题的设计——在交流中升华

以学生为中心，让学生动手实践，经历观察、操作、想象、交流合作等探索过程，并在自主活动中主动构建知识意义”是新课标提出的教学理念．在教学中，经常会遇到一些教学主题内容以外的探究活动或课题学习，有些老师不予重视，选择不讲或略讲，但笔者认为根据新课标提出的教学理念，我们可以精心的设计或者改编这块内容，让此类例题成为现实展示自我，提升自我的载体及整堂课的归纳应用的升华．

例7：浙教版《义务教育课程标准实验教科书•数学》七年级上册4.6整式的加减(2)中课本中设计题：向家人或查阅你家支付电费，或水费，或其他费用的收据、账单等．这些费用是怎样计算的？请用适当的代数式表示，然后把你得到的结果在班级里交流．

本课时的重点是整式的加减运算．课本上最后的设计题，对于学生来说，比较难，对教师来说，比较难以驾驭课堂中合作探究环节，而且处理起来比较麻烦，处理的过程中容易出错．所以大多数教师往往会选择了放弃此题，而我经过深入思考后，选择不放弃，只做了小小的改动，让学生更好地交流合作解决实际问题．

合作学习：我们大家当一回小小水费监督员，请我们完成以下工作吧．

(1)调查对象：自家水费账单

(2)探究方向：用水的费用是怎样计算出来的

(3)交流合作:请你简洁明了的向同学介绍你家水费计算情况．

(4)设计例题：为节约用水，我市规定三口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为1.5元/立方米，超过部分水费为3元/立方米．

请用代数式分别表示这家按标准用水和超出标准用水各应缴纳的水费．

此时，通过进行合作学习例题的设计，有助于扩展学生的思维，激发学生的灵感，形成独特的认识．引导学生讨论，使学生积极地去发现，主动地去探求，自觉地去运用．

总之，新课程理念下，教师在例题教学设计中，要处理好传授知识与发展能力的关系，注重培养学生的独立性和自主性，引导学生质疑、探究、促进学生在教师的指导下主动、富有个性地学习，引导学生经常进行数学题后反思.通过对原问题进行重新认识、对解题过程中条件的处理，对解题方法的掌握有梯度地深化思考，对所用知识进行有效概括，对解题经验进行提炼，并尝试排除思考过程中对的思维迂回，探求多样解法和最优解法，让学生自然而然地形成一题多解.有效地把握各种数学思想，提高个人数学知识.

本文只是自己教学实践中一些不成熟的做法，借以抛砖引玉，期望我们教师能创造性的使用好教材，对教材的内容、编排顺序、教学方法等方面进行适当的取舍或调整，并吸收生活中的鲜活题材，“变”出符合学生发展的例题，以提高课堂的有效性．

参考文献：

[1]蒋中华.能产生实效的研究性学习[J].中小学数学，2004(7/8).．

[2]孙琪斌，陈佳林，沈涛．中数学教学目标的现状分析与行为跟进策略［J］．数学教学，

2009(8)．

[3]章飞.设计即选择选择促成长：以平行四边形的判别”的教学设计为例[J].中国数学教育(初中版),2010(4).

作者单位：浙江省海宁市长安镇初级中学

邮政编码：314408