数学思想方法及对数学教学方法的影响——实施《数学课程标准》中一个应重视的问题

数学思想方法及对数学教学方法的影响——实施《数学课程标准》中一个应重视的问题

赵景云

数学思想方法及对数学教学方法的影响——实施《数学课程标准》中一个应重视的问题

赵景云天津市和平区中心小学

数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过对重要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化等活动来实现。《数学课程标准》指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。这是《标准》与传统数学教学大纲在教学目标上的重大区别。对每位教师的数学教学观念与教育策略的转变和探索提出更高的要求。为此，我们把“数学思想方法对数学教学方法的影响”作为探索的切入点，对相应的教学方法的确立与形成，做了初步探讨和尝试。

一、数学思想方法与数学教育现代化

数学思想方法是提供数学认识和思维的宏观策略，是数学知识的灵魂，是为数众多的数学分支统一性、共同性的反映。实现数学教育现代化，首要的是重视数学思想方法的教育。苏联数学教育家斯托利亚尔在《数学教育学》有这样的论述：“……把数学建立在现代化数学思想基础上，使学生的思维向现代数学思维发展。”“数学教学是数学领域的思维活动、认识活动的教学。”我国王梓坤教授指出：“学习数学，掌握基本概念和定理固然重要，了解这些概念如何形成的以及获得这些定理的思想方法更重要，因为定理是定型的、静态的，而思想方法则是发展的、动态的。思想方法富有启发性，可以引导人们去研究新问题，做出新发现。”我国《标准》也规定，数学教学活动必须帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

但是，目前小学数学教学现状又如何呢？

自1984年开始在师范院校开设《数学史、数学方法论》以来，这项研究活动已逐步兴起，认识上有提高，理论上有一定成效。但这项活动深入广泛地开展还不令人满意。

近期，我们曾对我校数学教学状况进行分析，结果表明：①多数教师认为数学教育的现代化，就是教学内容的现代化，是数学知识的加深拓宽；②相当数量的教师，教学中仅满足于对现成知识——数学结果的教学，不重视知识发生过程及蕴涵在课本知识中的数学思想方法；③教学紧张，无暇搞教改，教师忽视知识更新和获取“信息知识”。

因此，更新数学教育观念，把数学思想和方法的培养、数学知识的教学与教学方法的调整融为一体，成为实施《标准》中一个应重视的问题。

二、数学思想方法对数学教学方法的影响

数学思想方法，是从方法论的角度来研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法及数学中的发现发明与创新等规律的一门学问。数学方法是研究或解决数学问题，并使之达到某种目的的工具、手段方式或程序，它标志着人们的一种数学行为；数学思想是对数学知识和方法的本质认识，任何数学事实的理解、数学概念的掌握、数学方法的应用、数学理论的建立，无一不是数学思想的体现和应用。

数学思想方法的内容，大体可以分为两类。一类是一般思维方式方法影射到数学之中的；另一类是数学科学中自身的一些具体思想方法，这其中的模型方法、公理化方法和化归方法，对其它科学的研究也有指导和借鉴的意义。

数学思想方法作为教学内容，重要的是通过学生参加数学活动，在概念的形成过程中，结论的推导过程中，解决问题方法的思考过程中去领会、触悟。也就是说，掌握数学思想方法的任务，对教学方法提出了新的要求：要科学地处理好数学思想方法的结构序列和展开认知活动的方式方法的结构序列。另一方面，数学教学方法又自然受到数学思想方法的启迪。因为，数学思想方法是处理现实世界数量关系和空间形式的思想方法，在数学教学中亦可借鉴、模拟，以此作为设计教学方法的依据。斯托利亚尔在《数学教育学》中，在对数学方法、思想进行具体分析的基础上，提出教学参考方案。即每课时须按“经验材料的数学组织化”、“数学材料的逻辑组织化”、“理论的应用”三个阶段进行。这样，学生学到的，教师教的不再仅仅是数学知识（数学活动的结果），而是数学思维（数学活动的过程）。

三、相应的数学教学方法的确立与形成

1．把握数学模型的思想方法，实现经验材料的数学组织化。

数学模型的思想方法是通过建立和研究客观对象的数学模型来揭示数学原型的形态、特点和本质的方法。它具有可重复性、可操作性，它来源于模拟、类比。从广义上讲，一切数学概念、理论体系、公式、函数关系和算法系统都叫数学模型。例如，自然数1、2、3……是用以描述离散数量的数学模型；函数y＝kx（k是非零常数）是一类具有正比例关系的实际问题的数学模型；概率统计学是研究随机现象的数学模型。但从狭义上说，只有那些反映特定问题、特定的具体事物系统的数学关系结构才称之为数学模型。例如，“一笔画”就是“哥尼斯堡七桥问题”的数学模型。

利用数学模型方法解决问题的一般步骤是：①把经验材料的空间形式和数量关系抽象为数学问题，恰当地构造数学模型；②分析数学模型，求出数学的解；③把数学的解回授到实际中去，检验与评价。这里，将经验材料进行数学组织化是数学模型化的关键，只有抓住这个关键，才能把对客观世界的研究转入到数学领域。

经验材料数学组织化的基本过程是观察、实验、归纳、类比以及一般化和抽象化。

（1）选择适合课堂的经验材料，指导学生去观察、归纳、类比。

例1，教学体积概念。

教师出示2只装有半杯水的玻璃杯，让学生观察，杯里没有装满水，这空出的部分可以称为“空间”。然后分别把大小不同的两个铁块投入杯内。学生观察到：杯里的水面上升了，说明铁块要“占据”空间；而且水面上升的高度不一样，说明这两个铁块占据空间有“大小”。这时，再让学生举实例说明物体要占据空间，而且有大小。学生经过观察，一般可以依靠归纳，自己提出体积“较为数学化”的描述方式。

（2）利用数学模型，指导学生解决实际问题。熟悉基本的数量关系，了解其结构特征、内在联系、解题规律，用概括的形式使其固定下来，形成数学模型，并善于运用数学模型。

例如，在一次试验中，某事件A可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率

都是。如果基本事件A包含的结果有m个，那么，等可能事

件A的概率是p（A）=。利用它的概括性和典型意义可以将

一些背景不同而实质相同的试验归结为这种模型来计算概率。

例2，抛掷一个骰子，骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？

解：由于骰子是均匀的，只要向上的数是3、6这2种情形之一出现时，“向上的数是3的倍数”这一事件发生，因此也可以用等可能事件A的概率模型处理。

P（A）==

2．把握数学公理化的思想方法，实现数学材料的逻辑组织化。

公理化的思想方法，是指从尽可能少的原始概念出发，定义其他的一切概念；从一组公理出发，通过逻辑推理，证明其它的一切真命题，从而把数学科学的经验知识整理成演绎系统的一种思想方法。尽管在中小学数学里没有可能学习严密的公理化思想方法，但是，公理化的精髓却同样是极为重要的基本思想方法。我们有可能有必要把它贯注到教学中去，使师生经常受到公理化思想熏陶的机会。具体作法是：

（1）重视原理、通性、通法。这通常作为单元结构教学的指导思想。

例3，多边形面积的处理。

这些多边形面积都是由长方形面积公式作基础，由此演绎推出的，剩下的只是图形各要素之间的对应问题了。

在这里只须指出，如何通过图形的变换将新图形转化为已学过的旧的图形。这是面积公式推导的通法。