浅析用“数形结合”思想解决高中数学问题

浅析用“数形结合”思想解决高中数学问题

罗周华

广西来宾市金秀瑶族自治县民族高中545799

数学是研究空间形式和数量关系的科学，数形结合思想是重要的数学思想之一，它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析研究对象的代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，它的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，在代数与几何的结合上寻找解题思路，使问题得到解决。在新课改的背景下，“数”与“形”的相互转化和结合是解题的重要方法，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，它们可以相互转化，相互渗透。

用数形结合思想方法解题是高中数学教学内容的主线之一，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助“形”的直观来解。

一、利用数形结合思想，解决在集合题目中的问题

在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

如：已知集合A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|a＜x＜3a｝,(a∈R)。

（1）若AB，求a的范围；（2）若BA，求a的范围。

分析：如图1，先在数轴上表示出集合A的范围，要使AB，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：,这时a的值不可能存在（图①）要使BA，当a>0时集合A应该覆盖集合B，应有成立，即0＜a≤1。当a≤0时，B=，显然BA成立。故BA时的取值范围为：a≤1（图②）。

图1①图2②

在集合运算中，有些题目从形态上感觉无从下手，此时可以认真观察集合中的元素特征，将其准确地转化为图形关系，借助于图形将集合间的交、并、补直观、形象地表现出来，从而使问题获解。

二、利用数形结合思想，解决高中数学中函数问题

借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。函数的图像和性质是函数部分的重点内容，函数图像是研究函数的有力工具，是将代数问题转化为几何问题的思想基础，是数形结合思想的充分利用。

如：已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为（）。

分析：这题直接求解，繁难。由方程联想二次函数进行数形结合（图2），以数助形，则简洁明了。

设y1=x2-4|x|+5,y2=m。又因为y1为偶函数，由图可知：1<m<5。

三、利用数形结合思想，解决高中数学中不等式的问题

在解有关不等式的题目时，从条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。在高考中，不等式一直是考查的重点内容，以“实际为背景”、“函数为背景”的居多，解不等式或证明不等式问题经常联系函数的图像，且利用函数图像来解决有关不等式的问题，特别是线性规划问题的求解是在图上完成的。

如：求函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值。

分析：考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为：x2+1+x2-4x+8=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2。如图3，令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在X轴上求一点P，使|PA|+|PB|有最小值；如图3，由于AB在X轴同侧，故取A关于X轴的对称点C（0，-1），故（|PA|+|PB|）min=|CB|=（2-0）2+（2+1）2=13。

四、利用数形结合思想，解决高中数学中三角函数问题

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。三角函数是描述周期函数的重要函数模型，它与代数、几何密切联系，是研究其他部分数学的重要工具。三角函数的图像和性质，分别从数与形两个侧面反映了三角函数的变换规律，如角的范围、讨论三角函数的性质、解三角形等。

如：求函数y=+sinx的定义域是（）。

分析：由+sinx≥0得:sinx≥-，如果直接解这个三角不等式，学生是很难解得的，如果通过作正弦函数y=sinx(x∈R)的图像（图4，见下页）来分析引导学生做题，学生会直观地接受解题过程，如图4过y轴上的-作平行于x轴的直线y=-与y=sinx(x∈R)的图像在[-,]内相交于-和，函数y=sinx(x∈R)图像在直线y=-的上方表示大于部分，所以所要求的定义域为：｛x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z｝。

五、利用数形结合思想，解决高中数学中解析几何问题

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

如：若直线y=x-m与曲线y=1-x2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）。

分析：如图5中y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而y=1-x2则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如上图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距-m∈[1，2），即m∈（-2，-1]。

六、利用数形结合思想，解决高中数学中方程的问题

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题。

如：方程lgx-sinx=0的解的个数是（）。

分析：这题直接求解是很难的，因此应从“形”中觅“数”，此方程解的个数为y=lgx的图像与y=sinx的图像的交点个数。因为sinx≤1，lgx≤1，所以0＜x≤10。

在平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图6，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。

七、利用数形结合思想，解决高中数学中最值问题

如：求函数u=2t+4+6-t的最值。

分析：由于等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元2t+4=m，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设x=2t+4，y=6-t，则u=x+y，且x2+2y2=16（0≤x≤4，0≤y≤22），所给函数化为以u为参数的直线方程y=-x+u，它与椭圆x2+2y2=16在第一象限的部分（包括端点）有公共点（如图7），umin=22相切于第一象限时，u取最大值3x2-4ux+2u2-16=0。

解△=0，得u=±26，取u=26,∴umax=26。

通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在。数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合，直观又入微，提高形数联想的灵活性，有助于思维素质的发展，有利于提高解题能力。

同时，在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点：1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识形，以形识图。

参考文献

[1]傅梦生数形结合的应用策略研究.科技咨询导报，2007。

[2]邱海泉浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用.河北，河北理科教学研究，2005，03，40-43。

[3]杨明浅谈数学思想方法在解题中的应用.河北，河北理科教学研究，2008，03，39-40。